En la "Topología Algebraica" de Hatcher, en la sección de Dualidad de Poincaré, introduce el tema haciendo superficies orientables. Muestra que hay una estructura celular dual para cada estructura celular y es fácil ver que la primera estructura da el complejo de cadena celular, mientras que la otra da el complejo de co-cadena celular. Continúa diciendo que esto se generaliza para las variedades de mayor dimensión, pero que "requiere una cierta cantidad de teoría de variedades". ¿Existe algún buen libro o artículo donde pueda leer sobre esta formulación de la Dualidad de Poincaré?
Respuestas
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Que yo sepa, la única referencia de libro de texto para este enfoque, que es el enfoque original de Poincare, es el texto de Seifert y Threlfall "A textbook of topology". Está disponible en traducción al inglés, pero el original estaba en alemán. Además, la prueba de Seifert y Threlfall no es tan eficiente como podría ser, ya que están trabajando totalmente con homología simplicial. Es mucho más eficiente trabajar tanto con la homología simplicial como con la cohomología CW (junto con el conocimiento de que la homología / cohomología simplicial y CW son canónicamente isomorfas a través de la relación con la homología / cohomología singular).
Esta versión de la prueba sólo funciona en el contexto en el que tu colector es triangulable, y aquí va:
La idea de la descomposición de la célula dual en general es la siguiente. Sea $\Delta_n$ ser un $n$ -simplex, y que $F$ sea una faceta de $\Delta_n$ es decir, el casco convexo de una colección de $\Delta_n$ de los vértices.
El broca poliédrica doble correspondiente a $F$ es el casco convexo de los baricentros de todo facetas $F'$ de $\Delta_n$ que contienen $F$ (incluyendo $\Delta_n$ mismo). Así que en un tetraedro $\Delta_3$ , si $F$ era una arista, el bit poliédrico dual sería un cuadrilátero que interseca $F$ en un solo punto.
Dada una variedad triangulada $M$ , si $F$ es un simplex de la triangulación, el doble célula correspondiente a $F$ es la unión de todos los bits poliédricos duales a $F$ en todos los símbolos de dimensión superior que contienen $F$ . Si $M$ es $m$ -y la de los demás. $F$ es $k$ -dimensional, un poco de geometría después y verás que la célula dual es un $(m-k)$ -en una auténtica descomposición CW de $M$ . De nuevo, en el caso de los 3 manificios, si $F$ fuera un borde, la célula dual sería un $2$ -célula con un solo vértice en su centro, descompuesta en cuadrados.
Esa es la idea básica. A partir de ahí, la prueba de la dualidad de Poincare es en gran medida "seguir la nariz". Es una persecución divertida y te animo a que intentes resolverla por tu cuenta, en lugar de buscarla.
Además, dedica todo el tiempo que puedas a pensar en la evaluación de una clase de homología $X$ en el dual de una clase de homología $Y$ (siempre y cuando $X$ y $Y$ tienen dimensiones complementarias). Tendrás que tener cuidado al pensar en la homología simplicial frente a la CW cuando pienses en esto, por supuesto.
Para aquellos que buscan un modelo 3D, recientemente he convertido esto en un Impresión en 3D . Los datos están disponibles en el enlace.
TRS-80
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121
Para los colectores compactos (con y sin límite), recomendaría el método de Schubert Topología . Son estos viejos libros alemanes los que realmente repasan los detalles cuidadosamente. Tienes razón en que hay un problema: la mayoría de los libros no son realmente cuidadosos con la descomposición de la célula dual. La otra opción, que ofrece una excelente explicación de la prueba para las variedades cerradas, es el libro de Munkres Elementos de topología algebraica .
Daniel
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11
La demostración de la dualidad de Poincare en dos celdas aparece en mi libro de 1992 Teoría L algebraica y variedades topológicas y en mi documento de 1999 Singularidades, puntos dobles, topología controlada y dualidad en cadena
bubaker
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1680
Otro libro de texto alemán que incluye todos los detalles de la demostración geométrica de la dualidad de Poincaré es:
Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Topología algebraica (1988)
En contra de la afirmación que se encuentra frecuentemente en los esbozos del argumento, los autores subrayan que las "células" duales son no en células generales en el sentido topológico:
" Ejemplos y bocetos en dimensiones $\leq$ 3 sugieren que para cualquier $q$ -simplemente $\sigma$ [la doble "célula"] es un $(n-q)$ -y [su "límite"] es un $(n-q-1)$ -(si este fuera el caso, entonces [...] la descomposición dual sería una descomposición CW). La cuestión de si esto es así fue uno de los problemas abiertos, difíciles e interesantes en topología durante varias décadas, hasta que fue respondida negativamente por Edwards en 1975; [...]." ${}_{\text{(my translation)}}$
Como señala Ryan Budney en su comentario, esta dificultad técnica puede sortearse limitando la atención a Triangulaciones PL . La "mayoría" de las variedades, en particular todas las variedades diferenciables, admiten tales triangulaciones.
