Demostrar que $a$ , $r$ y $s$ son impar y $b$ es incluso

Question

Pregunta: Supongamos que $a$ , $b$ , $r$ , $s$ son relativamente primos y que $a^2 + b^2 = r^2$ y $a^2 - b^2 = s^2$ . Demostrar que $a$ , $r$ y $s$ son impar y $b$ está en paz.

Mi respuesta incompleta: Supongamos que $r$ es incluso entonces $a$ y $b$ son ambos pares o ambos Impares; entonces $s$ incluso, lo cual es una contradicción con la suposición de que $\gcd(r, s) = 1$ . Por lo tanto, $r$ es impar, entonces uno de $a$ y $b$ es impar y el otro es par, por lo tanto $s$ es impar. Desde $\gcd(r, s) = 1$ entonces $|r - s| \ge 2$ (¡que no ayuda a resolver!). Cómo saber cuál de $a$ o $b$ es impar (entonces el otro será par)?

Gracias.

Answer 1

Desde $a^2+b^2=r^2$ , usted sabe que $r$ es impar. En $s^2+b^2=a^2$ , usted sabe que $a$ es impar. Así que $b$ tiene que igualar.

Answer 2

Utilice el hecho de que si $x$ es impar, entonces $x^2 \equiv 1 \pmod{4}$ . Esto se debe a que $(2t + 1)^2 = 4(t^2 + t) + 1$ .

Ahora mira primero $a^2 + b^2 = r^2$ . Si $r$ es par, entonces $r^2 \equiv 0 \pmod{4}$ . Entonces (i) $a$ y $b$ son ambos pares o (ii) $a$ y $b$ son ambos Impares. En el caso (i), violamos la condición gcd. En el caso (ii), $a^2 + b^2 \equiv 2 \pmod{4}$ , contradiciendo el hecho de que $r^2 \equiv 0 \pmod{4}$ .

Así que $r$ es impar, y uno de $a$ o $b$ es impar, y el otro es par. Utilizamos $a^2 - b^2 = s^2$ para mostrar $a$ debe ser impar. Porque si $a$ es par, entonces $a^2 - b^2 \equiv -1 \pmod{4}$ , contradiciendo el hecho de que $s^2 \equiv 1 \pmod{4}$ .