Vi la siguiente prueba del hecho de que cada conjunto de extensión finita $S$ de un espacio vectorial $V$ tiene un subconjunto $B\subseteq S$ que es una base de $V$ .
Lema. Si $T$ es un conjunto de extensión mínima (es decir, $T$ es un conjunto de extensión y no hay ningún conjunto de extensión que sea un subconjunto propio de $T$ ), entonces $T$ es una base.
Prueba. Tenemos que demostrar que $T$ es linealmente independiente. Si no es así, entonces hay un $x\in T$ tal que $x$ es una combinación lineal de $T\setminus\{x\}$ . Pero entonces $T\setminus\{x\}$ es un conjunto de extensión que es un subconjunto propio de $T$ contradiciendo la minimidad de $T$ .
Teorema. Dejemos que $S$ sea un conjunto de extensión finita de $V$ . Entonces hay un $B\subseteq S$ que es una base de $V$ .
Prueba. Consideremos el siguiente algoritmo: si $S$ es linealmente dependiente, hay un $x$ tal que $x$ es una combinación lineal de $S\setminus \{x\}$ . En este caso, se establece $S:=S\setminus \{x\}$ y repita este paso; si no, deténgase.
Al final de la ejecución del algoritmo, $S$ sigue siendo un conjunto de extensión (porque sólo hemos eliminado los vectores redundantes). También $S$ es entonces un conjunto mínimo de spanning, porque de lo contrario habríamos eliminado más vectores. Así, por el lema $S$ es una base.
Mi pregunta: ¿Es realmente necesario utilizar el lema? ¿No basta con el siguiente argumento? También $S$ es linealmente independiente, ya que si no, el algoritmo no habría terminado.
