Supongamos que tengo una gavilla $\mathcal{F}$ en el (pequeño) sitio de étale sobre $X$ . Por restricción, $\mathcal{F}$ también es una gavilla en $X$ (con la topología de Zariski). ¿Cuándo coinciden las cohomologías de gavilla (es decir, los funtores derivados de los funtores de sección global) en estos dos sitios?
Por ejemplo, en SGA 4 (capítulo VII, p355), Grothendieck demuestra que las cohomologías anteriores coinciden para las láminas cuasicoherentes. Sin embargo, no entiendo muy bien la prueba y agradecería cualquier aclaración al respecto. Utiliza la secuencia espectral de Leray, y parece que el ingrediente clave es que las imágenes directas superiores $R^q f_*(\mathcal{F})$ son $0$ , donde $f_*$ es el functor de imagen directa inducido por la inclusión del sitio de Zariski en el de étale).
Pregunta: ¿Existen condiciones precisas sobre $\mathcal{F}$ que garanticen que las dos cohomologías coinciden? ¿Es la condición anterior sobre $R^q f_*(\mathcal{F})$ necesario/suficiente, y cuándo se mantiene?
Debería dar un ejemplo de fracaso: las gavillas constantes parecen la opción obvia, y aquí las cohomologías no coinciden ni siquiera en el caso de un punto (la cohomología de Zariski es cero, la cohomología de étale se reduce a la cohomología de Galois).
Tal vez se obtendría una pregunta más fácil si se comenzara con una gavilla $\mathcal{G}$ sur $X$ (con la topología de Zariski).
Subpregunta: ¿En qué condiciones se puede ampliar $\mathcal{G}$ a una gavilla en el sitio (pequeño) de étale? (Estoy pensando en extender por imagen inversa, es decir, para un étale $f \colon U \to X$ , ajuste $\mathcal{G}(U) =f^*(\mathcal{G})(U)$ pero tal vez haya otras posibilidades)
(Posiblemente) una pregunta más fácil: Suponiendo que $\mathcal{G}$ se extiende, ¿existen condiciones precisas sobre $\mathcal{G}$ que garantizan que la cohomología de Zariski y la cohomología étale de $\mathcal{G}$ ¿está de acuerdo?
Aquí también tengo en mente el caso de los gajos cuasicoherentes, en el que todo funciona bien siempre que se extienda de la manera correcta: partiendo de un gajo cuasicoherente en la topología de Zariski, hay que asegurarse de que el gajo acabe siendo cuasicoherente para la topología de étale. Hay que tomar algunos productos tensoriales para asegurar esto, como señala Scott en los comentarios.
(Por supuesto, he especializado esta pregunta a un ejemplo particular de sitios/topos, es decir, Zariski y étale. Si sabes cómo funciona esto en casos más generales, por favor compártelo también).
