Parece que estás tratando de demostrar que, para cada permutación no cíclica $\pi$ que existe $A_1,A_2,\ldots,A_n$ para que $$\operatorname{tr}(A_1A_2\ldots A_n)\neq \operatorname{tr}(A_{\pi(1)}A_{\pi(2)}\ldots A_{\pi(n)}).$$ Ahora, consideremos que una permutación es cíclica si y sólo si $\pi(x+1)=\pi(x)+1$ (tomado mod $n$ Por supuesto). En particular, podemos suponer que hay algún $x$ tal que $\pi^{-1}(x+1)\neq \pi^{-1}(x)+1$ . Dejemos que $y=\pi(\pi^{-1}(x)+1)$ . Si hacemos un ciclo de la expresión de la izquierda para poner $A_x$ al principio, obtenemos el equivalente (donde consideramos $A_{n+1}$ para referirse a $A_1$ y así sucesivamente) $$\operatorname{tr}(A_xA_{x+1}\ldots A_y \ldots A_{x+n})$$ entonces, estableciendo $A_x = M_1$ y $A_{x+1}=M_2$ y $A_{y}=M_3$ y el resto a la identidad da como resultado $$\operatorname{tr}(M_1M_2M_3)$$ a la izquierda. En el lado derecho, podemos hacer un ciclo hasta $A_{x}$ es la primera entrada de nuevo $$\operatorname{tr}(A_xA_{y}\ldots A_{x+1}\ldots A_{\pi(\pi^{-1}(x)+n)})$$ que, con las entradas extrañas ajustadas a la identidad como antes, da como resultado $$\operatorname{tr}(M_1M_3M_2)$$ lo que significa que todo lo que tiene que hacer es proporcionar un ejemplo en el que $$\operatorname{tr}(M_1M_2M_3)\neq \operatorname{tr}(M_1M_3M_2)$$ para demostrar la reclamación. Dicho de forma intuitiva, el truco consiste en encontrar, para cualquier permutación no cíclica, tres elementos que queden desordenados por la permutación.
