Fórmula general para el valor del $n$ ª derivada en $x=0$

Question

Puede alguien mostrarme cómo derivar esta suma para el valor de la $n$ ª derivada en $x=0$ para esta función:

$\frac{d}{dx^n}(\exp({\frac{x^2}{2}+x}))$ es esta suma:

$\frac{d}{dx^n}(\exp({\frac{x^2}{2}+x})) =$ $\sum\limits_{k=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}\rfloor}} \frac{1}{2^kx^{2k}k!(-2k+n)!}$

Captura de pantalla de wolfram alpha para la suma

Answer 1

Una forma es definir la secuencia de polinomios $\,P_n(x)\,$ tal que $$ P_n(x)\,e^{x+x^2/2} = \left(\frac{d}{dx}\right)^n e^{x+x^2/2}. $$ Los coeficientes de la secuencia polinómica es la Secuencia OEIS A111062 . Consulte la entrada de la OEIS para más detalles. Por supuesto, la función $\,e^{x+x^2/2}\,$ es la función generadora exponencial de la Secuencia OEIS A000085 . La entrada de la OEIS da la fórmula de la suma $$ a_n = \sum_{k=0}^{n/2} \frac{n!}{(n-2k)! 2^k k!}$$ que ya tienes de Wolfram|Alpha. Probablemente el método más fácil es encontrar la serie de potencias para $\,e^x\,$ y $\,e^{x^2/2}\,$ y multiplicarlos, lo que producirá la fórmula.

Más concretamente, considere $$ \sum_{n=0}^\infty a_n\, \frac{x^n}{n!} := e^{x+x^2/2} = e^x\,e^{x^2/2}= \\ \sum_{j=0}^\infty \frac{x^j}{j!} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{2^k k!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \sum_{k=0}^{n/2} \frac{n!}{(n-2k)! 2^k k!} $$ donde $\,j = n-2k.\,$ Ya que tenemos $\,0\le j,\,0\le k,\,$ y $\,k=(n-j)/2,\,$ entonces debemos tener $\,0\le k\le n/2.$

Answer 2

Definir $f(x) = e^{x^2/2}$ y $g(x) = e^x$ . Entonces $$(fg)^{(n)}(0) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(0) g^{(n-k)}(0)$$ por la regla del producto ampliado. Ahora $$f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x^2/2)^k}{k!}, \quad g(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!},$$ y por el teorema de Taylor se deduce que $$f^{(k)}(0) = \begin{cases}0, & k \text{ odd}, \newline \frac{k!}{2^{k/2} (k/2)!}, & k \text{ even}.\end{cases}$$ Por supuesto, también tenemos $g^{(n-k)}(0) = 1$ . Entonces $$(fg)^{(n)}(0) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k} \frac{(2k)!}{2^k k!} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n!}{k!(n-2k)!2^k}.$$