Cómo encontrar un conjunto de vectores que abarquen el espacio de soluciones de $Ax=0$ , donde

Question

Cómo encontrar un conjunto de vectores que abarquen el espacio de soluciones de $Ax=0$ , donde

Básicamente he intentado muchas veces resolverlo y mi respuesta viene sistemáticamente de la siguiente forma:

$\pmatrix{1 \\ -1 \\-1\\0}$

Mientras que mi libro da una respuesta de:

$\pmatrix{-1 \\-1\\1\\0}$

Answer 1

Realiza las siguientes operaciones de fila:

$$R_2:-R_4, \; R_3:-2R_1, \; R_4: -R_1, \; R_4:-R_3, \; R_3: -R_2$$

que te da $$\pmatrix{1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$$ lo que significa $x_1+x_3=0, x_2+x_3=0, x_4=0$ . Dejar $x_1=x_2=t$ tenemos $$x=\pmatrix{t \\ t \\ -t \\ 0} \rightarrow \pmatrix{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}$$

Answer 2

Reduciendo:

$$\begin{pmatrix}1&0&1&0\\1&2&3&1\\2&1&3&1\\1&1&2&1\end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&2&2&1\\0&1&1&1\\0&1&1&1\end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&1\\0&0&0&\!\!-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$

La solución general del sistema homogéneo $\;A\vec x=\vec0\;$ es

$$x_4=0\;,\;\;x_1=x_2=-x_3\;\implies\;\left\{\;\begin{pmatrix}t\\t\\\!\!-t\\0\end{pmatrix}\;\;;\;\;\;t\in\Bbb F\right\}$$

cualquiera que sea el campo $\;\Bbb F\;$ es. Así, una solución particular no nula, y también una base para el espacio de soluciones, es por ejemplo

$$\begin{pmatrix}1\\1\\\!\!-1\\0\end{pmatrix}$$

Answer 3

Una pista:

resolver el sistema: $$\begin{cases} x+z=0\\ x+2y+3z+t=0\\ 2x+y+3z+t=0\\ x+y+2z+t=0 \end{cases}$$ nota que puede encontrar $z=-x$ de la primera ecuación y resolver sólo las tres primeras, ya que la cuarta ecuación es una combinación lineal.

Se encuentra que la solución es el espacio de vectores de la forma $(y,y,-y,0)^T$

por lo que la solución de su libro es correcta ( $y=-1$ ).