cuando es $B^{-1} = A(BA)^+$ ?

Question

Para $C$ una matriz, que $C^+$ sea la pseudoinversa (inversa de Moore-Penrose).

Dejemos que $B$ una matriz cuadrada ( $n \times n$ ) con una inversa, y $A$ alguna matriz ( $n \times m$ ). ¿En qué condiciones es cierto que

$B^{-1} = A(BA)^+$ ?

(tal vez algunas condiciones en el rango de $A$ o algo similar).

Answer 1

$B^{-1}=A(BA)^+$ si y sólo si $BA(BA)^+=I$ . Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente es $\textrm{rank}(BA)=n\le m$ es decir $A$ es una matriz "ancha" de rango completo.