Si no los hay, ¿sería más fácil decir que 2 objetos son idénticos como campos ordenados en lugar de ser isomorfos como campos ordenados? ¿O se utiliza la palabra isomorfismo para enfatizar el hecho de que los objetos son diferentes como conjuntos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Vetle
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Ampliando el comentario de Andy Putman, los principiantes en álgebra lineal suelen pensar en todos los espacios vectoriales de dimensión finita (sobre $\mathbb{R}$ , digamos) como el mismo, en particular como $\mathbb{R}^n$ con la base estándar. Esto puede llevar a errores en cualquier tipo de cálculo, por ejemplo, en el cálculo multivariable, donde hay que calcular simultáneamente con un vector fila y un vector columna (por ejemplo, un elemento de un espacio vectorial junto con un elemento de su dual). El problema es que las matrices actúan de forma diferente sobre los vectores fila y columna, por lo que si se acaba cambiando de base hay que tratar los vectores fila y columna de forma opuesta.
Farinha
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5518
Las respuestas son geniales hasta ahora, especialmente la de Emerton. Me gustaría añadir otro ejemplo con el que me he encontrado. Se trata de la construcción de encolado de la gavilla estructural de un esquema afín. Creo que la dada por "elementos localmente constantes en los tallos" es mejor, pero en fin:
Si $A$ es un anillo y $X=Spec(A)$ su espectro, entonces se puede demostrar que la asignación $\mathcal{O}_X(D(f)) := A_f$ es una gavilla sobre los subconjuntos abiertos básicos. Ahora bien, toda gavilla sobre una base de un espacio topológico (que es cerrada bajo intersecciones) se extiende unívocamente a una gavilla sobre todo el espacio topológico. Pero espera, si $D(f)=D(g)$ no es necesariamente cierto que $A_f = A_g$ ¡! Pero podemos arreglar eso observando que hay un único $A$ -homomorfismo de álgebra $A_f \to A_g$ si $D(g) \subseteq D(f)$ y que esto es en realidad un isomorfismo si $D(f) = D(g)$ . Por lo tanto, en la práctica no importa qué $g$ con $D(f)=D(g)$ es elegido.
Hay algunas formas de formalizarlo. Por ejemplo, se puede definir $Q$ ser un gran anillo que contiene todos los $A_f$ como subrings, pero las identificaciones se convierten en identidades. Definir un orden parcial en $A$ por $f \leq g \Leftrightarrow D(g) = D(f)$ . Entonces $A_f$ es un sistema directo en este orden parcial y podemos tomar $Q$ como su colímite.
Vi0
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En la teoría de grupos existe una noción más fuerte que la de isomorfismo, la de similitud. Para que dos grupos de permutación sean "similares" debe existir tanto un isomorfismo entre el grupo como un isomorfismo compatible (conmutador en el sentido categórico) entre los conjuntos que se permutan. La pareja de estos dos isomorfismos se llama similitud. Dos grupos de permutación pueden ser isomorfos pero no similares.
La similitud es útil para comparar construcciones de grupos como el producto de la corona, las presentaciones de grupos y las clasificaciones de subgrupos de los grupos simétricos.
En estas situaciones, utilizar sólo el isomorfismo sería un error y se perdería información.
Toby Allen
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Spivak, Geometría Diferencial, Vol. 1, Capítulo 3, página 16.
Antecedentes: $M$ es un colector, $i$ es una incrustación pf $M$ en un espacio euclidiano, y $T(M,i)$ es el haz tangente en $M$ construido asumiendo la existencia de la inmersión $i$ que es la forma en que Spivak lleva a cabo la construcción al principio. Luego observa que para una elección diferente $j$ de la inmersión, tenemos una equivalencia de haz entre $T(M,i)$ y $T(M,j)$ .
Luego continúa (citado textualmente):
... En otras palabras, la dependencia de $T(M,i)$ en $i$ es casi ilusoria; podríamos abreviar $T(M,i)$ à $TM$ si estamos de acuerdo en que $TM$ denota realmente una clase de equivalencia de paquetes, en lugar de un paquete. Es el tipo de cosas que podría hacer un algebrista, y sin duda es feo.
Y a continuación construye el haz tangente de forma independiente de la inmersión, es decir, el enfoque más moderno, y expone sus méritos.
Coltin
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Considere $V \subset H$ ambos espacios de Hilbert en el entorno de las ecuaciones de evolución. Es útil trabajar con una configuración triple de Gelfand $V \subset H \equiv H^* \subset V^*$ donde $H$ se identifica con su dual. Pero entonces la identificación de $V$ con su dual es un error y lleva a la confusión.
