Si no los hay, ¿sería más fácil decir que 2 objetos son idénticos como campos ordenados en lugar de ser isomorfos como campos ordenados? ¿O se utiliza la palabra isomorfismo para enfatizar el hecho de que los objetos son diferentes como conjuntos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dentro de los números complejos hay muchos ejemplos de campos distintos que son isomorfos. Por ejemplo, hay tres subcampos de la forma ${\mathbf Q}(\alpha)$ donde $\alpha^3 = 2$ : toma para $\alpha$ cualquiera de las tres raíces cúbicas complejas de 2 y se obtiene un subcampo diferente. ¿Cuáles son las consecuencias de tratarlas como literalmente iguales? La teoría de Galois no tiene ningún sentido si se hace así. Del mismo modo, todos los $p$ -Los subgrupos de Sylow de un grupo finito son isomorfos (ya que los subgrupos conjugados son grupos isomorfos), pero esto destruiría gran parte del contenido de los teoremas de Sylow por tratando de decir que el $p$ -Los subgrupos de los silos son idénticos.
En términos más generales, siempre que haya objetos isomórficos pero desiguales dentro de un objeto más grande, puede llevar a la confusión, si no a la incomprensión absoluta, si se intenta considerarlos a todos como idénticos. (Hubo un artículo de Chevalley sobre grupos unitarios en campos numéricos en el que cometió un auténtico error por un abuso de la notación "raíz cuadrada" y creo que se podría expresar el error en forma de un isomorfismo confundido con una igualdad, pero tendría que volver a mirar el artículo para estar seguro de ello).
La palabra isomorfismo no enfatiza que dos objetos sean diferentes; cualquier grupo o espacio vectorial admite un isomorfismo consigo mismo utilizando el mapa de identidad. La palabra enfatiza que de manera estructural los dos objetos se parecen aunque no sean literalmente iguales. Nunca hay que decir que dos objetos son idénticos si no lo son realmente. Dicho esto, debo admitir que en matemáticas uno se encuentra con frases como "ya que $X$ y $Y$ son isomórficos podemos identificar $X$ con $Y$ " y luego $X$ se sustituye por $Y$ . La utilidad de hacer esto depende de la aplicación que tenga en mente. Tenga en cuenta, sin embargo, que la sustitución de $X$ con $Y$ no está diciendo que $X$ y $Y$ son lo mismo.
Esta pregunta parece formulada por alguien que no ha tenido mucha experiencia con los isomorfismos y está intentando hacerse una idea de lo que significa. En uno o dos años, después de ver más apariciones del concepto y sus usos, tendrá una mejor idea de ello, pero por ahora haga no piensan que la palabra isomorfismo es un sinónimo de idéntico.
Zameer Manji
Puntos
1213
Una respuesta un poco más general: si los objetos en cuestión no tienen automorfismos no triviales (es decir, isomorfismos no identitarios de sí mismo a sí mismo) entonces no habrá peligro en tratar los isomorfismos como la identidad. (Por ejemplo, los números reales no tienen automorfismos como campo, por lo que dos copias cualesquiera de los números reales pueden identificarse inequívocamente como campos).
Pero si $X$ y $Y$ son isomorfas pero Aut( $Y$ ) (o, de forma equivalente, Aut( $X$ )) no es trivial, entonces la identificación de $X$ y $Y$ no está determinada de forma única (porque siempre se podría postcomponer con un automorfismo no trivial de $Y$ o precomponer con un automorfismo no trivial de $X$ para obtener una identificación diferente), y por lo tanto en este caso hay una identificación inequívoca. (Un ejemplo típico de esto es el isomorfismo entre un espacio vectorial finito-dim'l y su dual; no existe un isomorfismo de este tipo unívocamente determinado, por lo que no se deben identificar los dos, aunque sean isomorfos).
En algunos contextos, aunque no exista un isomorfismo determinado de forma única, existe una elección canónica, por ejemplo, la identificación de un espacio dimensional finito con su doble dual. Tales isomorfismos se describen normalmente en el lenguaje de los isomorfismos naturales entre funtores (por ejemplo, el funtor de identificación y el funtor de doble dualidad son naturalmente isomorfos como funtores de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita --- sobre algún campo dado --- a sí mismos). A menudo es seguro para identificar objetos que se identifican por un isomorfismo natural en algún marco teórico de la categoría que sea adecuado para el problema en cuestión. Pero incluso en estos casos, a veces hay que conocer una descripción explícita del isomorfismo natural (por ejemplo, porque se puede necesitar hacer un cálculo que implique a ambos objetos, lo que, por supuesto, requerirá saber cómo se han identificado). En particular, cuando se identifican dos objetos a través de algún isomorfismo natural, es una buena forma de describir explícitamente el isomorfismo natural en algún momento, a menos que el isomorfismo natural en cuestión sea totalmente convencional (por ejemplo, el isomorfismo de doble dualidad para un espacio vectorial de dimensión finita; e incluso entonces, se podría escribir algo como "identificamos $V$ y $V^{\vee\vee}$ mediante el habitual isomorfismo de doble dualidad").
Añadido: Esta respuesta es muy similar a la de Charles Staats, que se publicó mientras yo escribía.
Gerry Myerson
Puntos
23836
Si $p$ es un primo, entonces el grupo multiplicativo módulo $p$ es isomorfo al grupo aditivo módulo $p-1$ es decir, es un grupo cíclico de orden $p-1$ . Es trivial encontrar un generador del grupo aditivo, pero cuesta bastante trabajo encontrar uno para el multiplicativo. En relación con esto, es fácil resolver $ax=c$ en el grupo aditivo, utilizando el algoritmo euclidiano, pero la dificultad de resolver la ecuación correspondiente $a^x=c$ en el grupo multiplicativo - el logaritmo discreto es la base de algunos sistemas de criptografía.
MyOnlyEye
Puntos
90
En primer lugar, como han dicho otros carteles, nunca se afirma que dos objetos sean idéntico a menos que sean realmente iguales como conjuntos. Sin embargo, hay ocasiones en las que conviene "identificar" dos objetos isomorfos. (En realidad, se trata de una cuestión de lenguaje).
Exactamente cuando esta identificación es apropiada es una cuestión de cierta sutileza. Si hay muchos isomorfismos diferentes entre dos objetos, y no hay una forma natural de seleccionar uno de ellos, entonces es generalmente una mala idea identificarlos (aunque a veces esto se hace implícitamente, como cuando hablamos de el campo con $q$ elementos). Esto se aplica en particular a un espacio vectorial y a su dual. En general, si se tiene un isomorfismo único, o incluso un "isomorfismo natural" (esto se puede precisar utilizando la teoría de categorías si se desea), es seguro identificarlos; sin embargo, esto podría producir problemas si son subconjuntos distintos de algún conjunto mayor en el que se esté interesado.
Para complicar aún más la cuestión, en muchos, o incluso en la mayoría de los casos, no nos importa la identidad del conjunto en cuestión, sino sólo su estructura (externa o interna). Así, por ejemplo, cualquier pregunta sobre los números reales que no pueda responderse utilizando el hecho de que forman un campo ordenado completo (por ejemplo, ¿es $1 \in 2$ ?) no son en realidad preguntas sobre los números reales. Esto plantea cuestiones interesantes en la filosofía de las matemáticas; véase este sitio web para un debate. Las cosas se ponen aún más interesantes cuando se empiezan a definir objetos (por ejemplo, productos tensoriales, límites, colímites) utilizando propiedades universales; en este caso, los objetos sólo se definen hasta el isomorfismo natural, por lo que no hay ninguna construcción que "sea" el objeto deseado.
También hay ocasiones en las que cualquiera de las dos identificaciones puede ser apropiada, pero no las dos a la vez. Por ejemplo, $\mathbb{Z}$ es naturalmente isomorfo a un subconjunto fijo de los números p-ádicos $\mathbb{Z}_p$ y a un subconjunto fijo de los números reales $\mathbb{R}$ , pero nadie escribiría nunca $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}_p \cap \mathbb{R}$ (excepto para discutir cuando no es apropiado hacer identificaciones).
En resumen, es una pregunta sutil, y la respuesta se basa más en la experiencia que en un conjunto de principios codificados.
Eric
Puntos
246
Un documento que miré necesitaba comprobar cada subgrupo de $S_n$ para los pequeños $n$ . Hay mucha simetría ahí, que el autor estaba tratando de explotar. Aunque $S_4$ contiene tres subgrupos isomorfos a $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ El autor sólo comprobó uno de ellos; sin pérdida de generalidad (``por simetría''), eso fue suficiente. El problema es que uno de esos subgrupos es normal y los otros dos no, y eso podría haber supuesto una diferencia.
La gracia es que el caso adicional se verificó bien: el error lógico no se convirtió en una bola de nieve.
- Ver respuestas anteriores
- Ver más respuestas
