En primer lugar, permítanme señalar que los términos mínimo, máximo, ínfimo y supremum no viven en el vacío. Son propiedades que puede tener un determinado elemento con respecto a un orden determinado. Ahora olvidemos esto y centrémonos únicamente en el orden $(\Bbb R; \le)$ que parece que te interesa. Dado cualquier subconjunto de números reales $S \subseteq \Bbb R$ podemos preguntarnos si existe o no alguna $r \in \Bbb R$ tal que $r$ es mayor que todos los elementos de $S$ . Si tal $r$ existe, lo llamamos un límite superior para $S$ .
Por ejemplo: Sea $S = (0,1)$ . Cada elemento $s \in S$ es menor que $5$ y por lo tanto $5$ es un límite superior para $S$ . Sin embargo, hay límites superiores más pequeños. $4$ es un límite superior para $S$ y también lo es $\pi$ y $\sqrt{2}$ . Por lo tanto, podemos preguntarnos si hay una límite superior mínimo para $S$ y de hecho, tenemos que $1$ es un límite superior para $S$ y no $r < 1$ es un límite superior para $S$ . Por lo tanto, $1$ es el mínimo límite superior para $S$ que también llamamos supremum de $S$ .
Hemos diseñado los números reales de tal manera que una vez que un subconjunto dado de reales $S \subseteq \Bbb R$ tiene cualquier límite superior, siempre tendrá un (¡único!) límite superior mínimo, es decir, un supremum. (A supremum es, por definición, lo mismo que un límite superior mínimo). Permítanme subrayar que esto es por construcción de los reales pero no es cierto para otras órdenes. Por ejemplo, en $(\Bbb Q; \le)$ el conjunto $\{ q \in \Bbb Q \mid q^2 < 2\}$ claramente tiene un límite superior, pero no tiene un supremum.
Volvamos a $(\Bbb R; \le)$ . Tenga en cuenta que $\{ x \in \Bbb R \mid 0 < x \}$ no tiene un límite superior y por lo tanto no tiene un supremum. Recordemos que cualquier subconjunto $S \subseteq \Bbb R$ tiene un supremio si y sólo si tiene un límite superior.
¿Y qué pasa con los máximos? Un máximo de un conjunto de reales $S \subseteq \Bbb R$ es un límite mínimo superior de $S$ que también es un elemento de $S$ . Como los supremos son únicos (siempre que existan), tenemos entonces que un máximo de $S$ es también el sumo de $S$ y que $S$ tiene como máximo un máximo.
Echemos un segundo vistazo a $S = (0,1)$ . Ya sabemos que $S$ tiene $1$ como es la suprema, pero $1 \not \in (0,1)$ . Esto implica inmediatamente que $S$ no tiene un máximo. (Por el argumento anterior, si $S$ tuviera un máximo, sería igual a su supremacía. Pero el supremum de $S$ no es un elemento de $S$ y por lo tanto no es un máximo).
Dejaré el caso para infima de $S \subseteq \Bbb R$ (que son los mayores límites inferiores de $S$ ) y los mínimos de $S$ (que son los mayores límites inferiores de $S$ que también son elementos de $S$ ) a usted.
