Encontrar la antiderivada de $f(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}$

Question

$$f(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}$$ . Sea $g(x)$ sea una antiderivada de $f(x)$ . Si $g(5)=7$ entonces cuál es el valor de $g(1)$ ?
Intenté hacer la integración por partes repetidamente, pero sin éxito. Wolfram Alpha también da algo en otro tipo de función que no conozco.
Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Si se confía en una solución numérica, aquí está:

Debido a

$$g(5)-g(1)=\int_1^5 (x^2+2x)^\frac{1}{3}dx=9.729162187801335050406060297$$

obtenemos

$$g(1)=g(5)-9.729162187801335050406060297=-2.729162187801335050406060298$$

Answer 2

$$g(x)=\int\sqrt[3]{x^2+2x}\ dx\quad\mbox{and}\quad g(5)=7$$ Así que ahora $$\int_1^5\sqrt[3]{x^2+2x}\ dx=g(5)-g(1)=7-g(1)$$ Lo que implica que $$g(1)=7-\int_1^5\sqrt[3]{x^2+2x}\ dx$$ Nótese que esta integral no tiene solución en términos de funciones matemáticas elementales.

Answer 3

¿Cuál es el enunciado exacto de la pregunta? Es decir, tal vez no se le pida calcular pero sólo para express el valor en términos de $g$ es decir: $$g(1)=\int_5^1 \sqrt[3]{x^2+2 x} \, dx +7$$ porque, al fin y al cabo, la definición de $g$ es simplemente: $$g(x)=\int_5^x \sqrt[3]{t^2+2 t} \, dt +7$$