Dejemos que $(A,+)$ sea algún grupo abeliano que ordenemos totalmente, la definición puede hacerse de dos maneras que son equivalentes.
Definición 1
Dejemos que $\preceq$ sea una relación final dada en $A$ tal que
- $\preceq$ es transitivo
- $\preceq$ es reflexivo
- $\preceq$ es antisimétrico
- Para $x,y\in A$ , ya sea $x \preceq y$ o $y \preceq x$
- $\preceq$ es compatible con $+$ Es decir $x\preceq y \implies x+z\preceq y+z$
Definición 2 Dejemos que $P\subset A$ se dé de tal manera que
- $P+P\subset A$
- $P\cap-P=\emptyset$
- $P \cup-P=A-0$
Se puede demostrar que estas dos definiciones son equivalentes, lo que no es un problema para mí, sin embargo, estaba pensando en un ordenamiento que es denso. Para la primera definición tenemos que es simple de declarar, a saber, si $x\preceq y$ entonces existe un $z-\{x,y\}$ tal que $x\preceq z \preceq y$ . Sin embargo, estaba pensando en cómo se podría exponer para la posterior de una manera sucinta agradable? Estaba pensando en utilizar cosets, es decir, para $x,y\in A$ avec $y-x\in P$ tenemos que $$(P-x)\cap(y-P)\neq\emptyset$$ sería suficiente, ya que podemos hacer $\preceq$ de la segunda al tener $y-x\in P\implies x\preceq y$ lo que nos da, a partir de la definición de denso en el primer caso, que existe un $z\in A$ tal que $z-x\in P$ y $y-z\in P$ . Sin embargo, creo que esto no es necesariamente cierto, ya que después de todo, no se garantiza que $z-x=y-z$ ya que eso implicaría $x=y$ que no es el caso la mayoría de las veces. Para que la intersección sea no-emtipativa no se puede sostener, ¿cuál sería la manera apropiada de definir la propiedad de ser denso usando el lenguaje de la segunda definición?
Editar: Después de un poco de trabajo adicional creo que he encontrado la respuesta, aunque los cosets no son del todo correctos, ya que $P$ no es un subgrupo, la idea general es correcta. Mi línea de razonamiento es esta, se nos da que $x\preceq z$ y $z\preceq y$ es la propiedad que buscamos, con $z$ sin ser $x$ ni $y$ . Eso significa que tenemos $z-x\in P$ y $y-z\in P$ que podemos reescribir para que sea $z\in x+P$ y $-z\in -y+p$ o $z\in y-P$ . Esto nos da entonces que $z$ está en esos dos "cosets" y a su vez tenemos $$y-P\cap x+P\neq\emptyset$$ ¿Es esto correcto?
