De dónde viene la definición del determinante y es la definición en términos de permutaciones de la primera y básica de uno? ¿Cuál es la razón profunda para dar una definición en términos de permutaciones?
$$ \text{det}(A)=\sum_{p}\sigma(p)a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}. $$
He encontrado esta útil:
http://phalanstere.univ-mlv.fr/~al/Classiques/Muir/History_5/VOLUME5_TEXT.PDF
Esta es sólo una de las muchas posibles definiciones de la determinante.
Una más "de inmediato significativa" definición podría ser, por ejemplo, para definir el determinante como la única función en $\mathbb R^{n\times n}$ tal que
(O lo mismo con las filas en lugar de las columnas).
Si bien esto parece conectar con alto nivel de propiedades del determinante de un modo limpio, es sólo la mitad de una definición ya que requiere que usted para demostrar que una función con estas propiedades existe , en primer lugar, y es único.
Es técnicamente limpiador para elegir la permutación basado en la definición, porque es obvio que define algo, y después de probar que la cosa se define tiene todas las de alto nivel de propiedades estamos realmente después.
La permutación basado en la definición también es muy fácil de generalizar a los parámetros en la matriz de las entradas no son números reales (por ejemplo, matrices sobre un general de anillo conmutativo) -- en contraste, la caracterización anterior no generalizar fácilmente, sin necesidad de un estudio minucioso de si nuestra existencia y unicidad de las pruebas se sigue trabajando con un nuevo anillo escalar.
El hecho sorprendente es que parece que las matrices fueron desarrollados para el estudio de los determinantes. No estoy seguro, pero creo que la "fórmula" de la definición del determinante es conocida como la fórmula de Leibnitz. Voy a citar algunas de las líneas de la siguiente fuente Tucker, 1993.:
Matrices y álgebra lineal no crecen fuera de el estudio de los coeficientes de sistemas de ecuaciones lineales, como uno podría suponer. Las matrices de coeficientes llevó a los matemáticos a desarrollar determinantes, no de las matrices. Leibnitz, co-inventor del cálculo, se utiliza determinantes en 1693, de unos ciento cincuenta años antes de que el estudio de las matrices en su propio derecho. Cramer presentó su determinante basado en la fórmula para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales en 1750. El primer uso implícito de las matrices que se produjo en Lagrange del trabajo en formas bilineales en el siglo 18.
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En 1848, J. J. Sylvester introdujo el término "matriz", la palabra latina para vientre, como un nombre para un conjunto de números. Él utilizó la matriz, debido a que se veía a un de la matriz como un generador de determinantes. Es decir, cada subconjunto de k filas y k columnas de una matriz generado un determinante (asociada con la submatriz formada por las filas y columnas).
Probablemente habría que cavar (textos históricos, artículos) para averiguar por qué exactamente Leibnitz ideó la definición, probablemente tenía algún presentimiento/intuición de que podría llevar a algunos avances en la comprensión de la conexión subyacente entre los coeficientes y la solución de un sistema de ecuaciones...
Sugerencia:
Determinantes aparecen en la solución de sistemas lineales de ecuaciones, entre otros. Si usted permutar las ecuaciones, la solución no puede cambiar. Por lo tanto, la expresión de un factor determinante debe ser insensible a la fila de permutaciones, y esta es la razón por la que son una combinación de términos relacionados con la $a_{ip_i}$.
Esto explica el patrón $$\sum_p \sigma_p\prod_i a_{ip_i},$$ where the operators are commutative and imply multilinearity of the expression. Also, the form must be antisymmetric so that two equal rows yield a zero determinant (causing failure of the solution) and this explains why $\sigma_p=\pm1$ indica la paridad de la permutación.
Aquí es un camino natural a la idea de determinante (aunque esta no es la forma en que se desarrollaron originalmente).
Un alternando $k$-función lineal en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\Bbb F$ es un mapa de $f\,:\, V^k \to \Bbb F$ que es
Es fácil ver que si $f,g$ son dos alternando $k$-funciones lineales en $V$, entonces también lo es $af + bg$ cualquier $a,b \in \Bbb F$, por lo que la alternancia $k$-funciones lineales en $V$ forman un espacio vectorial $A^k(V)$. Algunos de desarrollo muestra que si $V$ tiene dimensión $n$, $A^k(V)$ tiene dimensión $n \choose k$. En particular, $A^n(V)$ tiene dimensión $1$.
Ahora si $M\,:\,V \to V$ es lineal y si $f\in A^k(V)$, entonces el mapa $$M_kf\,:\, V^k \to \Bbb F\,:\,(v_1, ... v_k) \mapsto f(Mv_1, ..., Mv_k)$$ is also alternating $k$-linear. And clearly $M_k(af+bg) = aM_kf + bM_kg$, so $M_k$ defines a linear map from $^k(V)$ to itself (i.e., an endomorphism of $^k(V)$).
Desde $A^n(V)$ es unidimensional, cualquier endomorfismo es simplemente la multiplicación por algunos de los elementos del campo $\Bbb F$. Así, podemos definir el determinante de a $M$ a ser el único elemento $\det(M) \in \Bbb F$ tal que $$M_nf = \det(M)f\text{ for all }f \in A^n(V)$$
Todas las propiedades de los determinantes, incluyendo la permutación de la fórmula puede ser desarrollado a partir de este. Algunas propiedades de los determinantes que son difíciles de probar por medio de la Liebnitz fórmula son casi trivial de esta definición. En particular, que $\det(MN) = \det(M)\det(N)$.
Existe una estrecha relación entre el espacio de la alternancia $k$-funciones lineales y el $k$-fin de cuña producto de un espacio, para que yo pudiera tener de manera muy similar desarrollado el determinante basado en la cuña del producto, pero alternando $k$-de las funciones lineales son más fáciles conceptualmente.
Creo que la respuesta de Pablo obtiene el algebraicas quid de la cuestión. Hay un geométricas lado, lo cual da un poco de motivación para su respuesta, porque no está claro de improviso por qué multilineal alternada de las funciones debe ser importante.
En la línea real de la función de dos variables (x,y) dada por x-y le da una noción de longitud. Lo que realmente le da un poco más de longitud, ya que es un firmada noción de longitud. Se preocupa por la dirección de la línea de x a y y le da positivo o negativo basado en esa dirección. Si cambiamos de x e y se obtiene el negativo de su respuesta anterior.
En R^n, es útil tener una función similar que es el firmado volumen de la parallelpiped se extendió por n vectores. Si usted intercambio de dos vectores que invertir la orientación de la parellelpiped, por lo que debe obtener el negativo de la respuesta anterior. A partir de una forma geométrica persepective, que es cómo alternando funciones entran en juego.
El determinante de una matriz con columnas v_1,... v_n calcula el firmado volumen de la parallelpiped dado por los vectores v_1,.. v_n. Una función de este tipo es necesariamente alterna. También es necesariamente lineal en cada variable por separado, que también puede ser visto geométricamente.
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