¿Por qué es tan difícil Riemann-Roch para las pilas?

Question

En primer lugar, un indicio de que realmente es un problema difícil: tanto Vistoli como Gillet, en sus clásicos sobre la teoría de la intersección en pilas, comentan que debería haber un teorema de Riemann-Roch para morfismos representables adecuados, pero que no son capaces de demostrarlo. Creo que eso es prueba más que suficiente.

Las dos pruebas existentes de Toen y Joshua no utilizan el anillo de Chow ingenuo, sino una versión modificada. Esto hace que ambas pruebas sean bastante pesadas en la teoría K, y no las entiendo.

Entonces, ¿qué es lo que hace que la prueba utilizando el ingenuo Chow-Ring sea tan difícil? Si no recuerdo mal de la lectura del "Álgebra de Riemann-Roch" de Fulton-Langs, la técnica básica consiste en factorizar un morfismo como una imbricación regular seguida de una proyección. Los casos de imbeddings regulares y proyecciones se tratan con métodos prácticos. Aquí hay algunas razones que se me ocurren por las que esto podría no funcionar para los apilamientos:

1. Es difícil encontrar tal factorización.
2. Hay un problema con la identificación del Chow-Ring de una pila con el Grupo K equipado con la filtración gamma.
3. La factorización existe, pero la parte práctica es demasiado difícil.
4. ¿Tal vez el Grupo K no tiene una estructura de anillo laminar?

Answer 1

Ben dio gran parte de la respuesta, pero trataré de precisarla. Toen dice que no hay Riemann-Roch para el anillo de chow ingenuo (racional) (Observación 4.3 en Theoremes de R-R) (EDIT: a menos que también se tome la teoría K ingenua).

Dice que el problema es que a los anillos chow les falta la estructura de la pila (p.1), como dice Ben. Como señalas, el morfismo a un punto no será representable. Si una pila tiene un morfismo representable a un esquema, debe ser un espacio algebraico. (Sólo hay que tirar hacia atrás por la identidad. Representable significa que será un espacio algebraico). También hay un problema con la teoría G. Los problemas son:

• El morfismo de una pila de DM a su espacio de moduli grueso $p : F \to M$ induce un isomorfismo de anillos racionales de Chow,

  $p_{*} : CH(F) \otimes \mathbf{Q} \to CH(M) \otimes \mathbf{Q}$

  Eso es Thm 0.5 del documento de la teoría de la intersección de Gillet.

• El mismo morfismo induce una equivalencia débil (ahora estamos trabajando con objetos simpliciales)

  $p_{*} : G(M) \otimes \mathbf{Q} \to H(F_{et}, G \otimes \mathbf{Q})$

  de la cohomología de la gavilla de la teoría G con la teoría G del espacio de moduli grueso. (Corolario 3.8 del artículo R-R de Toen).

  Obsérvese que la teoría G se forma a partir de los grupos K de la categoría de láminas coherentes, y la teoría K a partir de la categoría de haces vectoriales. El morfismo natural $K \to G$ da una dualidad "Poincare". Es un isomorfismo en el caso de los espacios algebraicos, pero no en general para los apilamientos (Proposición 2.2 de la tesis de Toen).

La solución considera la pila de ramificación (también conocida como pila de clasificación de subgrupos cíclicos) de F, denominada $I_F$ y se conoce en el caso de los orbifolds complejos (variedades V) desde que Kawasaki escribió sobre ello en 1979. La prueba de Toen parece centrarse en demostrar

$G_{*}(F) \otimes \mathbf{Q}(\mu_\infty) \cong H^{-*}(I_F, G \otimes \mathbf{Q}(\mu_\infty))$ .

Leo el lado izquierdo como la teoría K y el lado derecho como el anillo de Chow.

Finalmente se reduce al caso conocido $F = [X / H]$ de la teoría K equivariante con una variedad proyectiva lisa $X$ cociente de un grupo finito $H$ :

$\mathbf{K}_{*}(X, H) \otimes \mathbf{C} \cong \bigoplus_{h \in c(H)} \mathbf{K}_{*}(X^h)^{Z(h)}$ ,

donde la suma es sobre el conjunto $c(H)$ de clases de conjugación de $H$ , $X^h$ es el subesquema de punto fijo, y $Z(h)$ es el centralizador de $h$ en $H$ . (Es Vistoli 1991, quizás también Angeniol, Lejeune-Jalabert 1985)