Relación entre la traza de la matriz $A^*A$ y la invertibilidad de la matriz $A$

Question

¿Existe alguna relación entre $\mathrm{tr}(A^*A)$ y la invertibilidad de la matriz $A$ ? ¿Qué información sobre la matriz $A$ hace $A^*A$ ¿da? Estaba confundido al respecto cuando me encontré con las siguientes afirmaciones: ¿Es cierto que :

1. Si $A$ es invertible, entonces $\mathrm{tr}(A^*A)$ es distinto de cero.
2. Si $|\mathrm{tr}(A^*A)|<n^2$ entonces $|a_{ij}|<1$ para algunos $i,j$
3. Si $|\mathrm{tr}(A^*A)|=0$ entonces $A$ es una matriz cero.

¿Puede alguien ayudarme con la respuesta? Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ sea una matriz cuadrada compleja.

Ya que para un número complejo $z = x + iy$ tenemos $$ z^* z = (x - iy)(x + iy) = x^2 + y^2 = |z|^2, \quad \text{where } |z| := \sqrt{x^2 + y^2} $$ Ahora tenemos $$ A^* A = \begin{pmatrix} a_{1,1}^* & \ldots & a_{n,1}^* \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1,n}^* & \ldots & a_{n,n}^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{i,1} a_{i,1}^* & & \ast \\ & \ddots & \\ \ast & & \sum_{i = 1}^{n} a_{i,n} a_{i,n}^* \end{pmatrix} $$ por lo tanto tenemos $\operatorname{tr}(A^* A) = \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i,j}|^2$

1. Deja que $\operatorname{tr}(A^*A) = 0$ entonces $|a_{i,j}|=0$ para todos por lo que el $A$ es la matriz cero, por lo que $\det(A)=0$ , por lo que no es invertible, demostrando (1) por contraposición.
2. A partir de la fórmula de la suma anterior para la traza, como todos los sumandos son positivos, cuando la suma es menor que $n^2$ que es el número de sumandos, uno de los sumandos tiene que ser menor que 1.
3. Demostrado en (1).