Forma de las condiciones iniciales de una EDO

Question

Puede una EDO de la forma (es decir, una EDO de segundo orden): $$ x''= \ x$$

sólo tienen valores iniciales de la forma $$x(0)=A \ \ \ ,\ \ \ x'(0)=B $$

Quiero decir, ¿podemos tener una condición inicial como $ \ \ x(0)=A \ \ \ ,\ \ \ x''(0)=B $ ¿Interviene una condición inicial de segundo orden?

Answer 1

La solución general de $\frac{d^2 x}{dt^2}=x(t)$ puede expresarse en la forma : $$x(t)=c_1\cosh(t)+c_2\sinh(t)$$ La condición $x(0)=A$ implica $A=c_1$

La condición $x''(0)=B$ implica $B=c_1$

En consecuencia, si $A\neq B$ no hay solución porque $c_1$ no puede ser simultáneamente igual a dos números diferentes.

Si $A=B$ hay una infinidad de soluciones con $c_1=A=B$ y cualquier valor $c_2$ $$x(t)=A\cosh(t)+c_2\sinh(t)$$