Le site $n$ -módulo cúbico de dimensiones su frontera es homeomorfa a un $n$ -Esfera de dimensiones

Question

Dejemos que ${I}^{n}$ denotan el $n$ -cubo de dimensiones, $\partial{I}^{n}$ sea su límite y ${S}^{n}$ denotan el $n$ -esfera unitaria.

Ahora para un espacio puntiagudo $(X,x_{0})$ el $n^{th}$$ homotopía$ $group$ de $X$ es :

1. El conjunto de clases de homotopía de los mapas $f:({I}^{n},\partial{I}^{n}) \rightarrow (X,x_{0})$ tal que el límite $\partial{I}^{n}$ va al punto base $x_{0}$ donde una homotopía $f_{t}$ satisface $f_{t}(\partial{I}^{n})=x_{0} \ \forall \ t\in[0,1]$ .

Alternativamente;

2. El conjunto de clases de homotopía de los mapas $g:({S}^{n},s_{0}) \rightarrow (X,x_{0})$ .

Ahora bien, esto se mantiene como $I^{n}\backslash\partial{I}^{n}$ es homeomorfo a $S^{n}$ .

Aquí es donde lucho. ¿Es cierto que a partir de la segunda definición enviaríamos $s_{0}$ a $x_{0}$ ( de ahí un punto a un punto) pero en el primero estaríamos enviando el conjunto de puntos límite a un único punto $x_{0}$ . Esta diferencia de muchos a uno y de uno a uno en el mapeo definido en la primera y en la segunda definición respectivamente, me hace difícil ver que ambos son alternativos entre sí ya que la diferencia en el mapeo hace que parezcan dos procesos contrapuestos, aunque entiendo que es una consecuencia obvia a partir del homeomorfismo entre el $I^{n}\backslash\partial{I}^{n}$ et $S^{n}$ . Me parecería más natural que en la definición 1 el mapeo fuera de $f:({I}^{n}\backslash\partial{I}^{n},i_{0}) \rightarrow (X,x_{0})$ ¿no es posible?

Answer 1

Usted escribe que le preocupa que la función $I^n \mapsto S^n$ es de muchos a uno en el subconjunto $\partial I^n$ y uno a uno en el resto de $I^n$ . Pues bien, eso es exactamente lo que pretende el concepto de topología cociente y mapa cociente: no es $I^n$ que es homeomorfo a $S^n$ es el espacio del cociente $I^n/\partial I^n$ en el que $\partial I^n$ se considera un elemento único y cada uno de los elementos se considera un punto único de $I^n - \partial I^n$ .

Para formalizar esto, el espacio topológico denotado $I^n / \partial I^n$ se refiere al espacio cociente de $I^n$ con respecto a la descomposición de $I^n$ en la siguiente colección de subconjuntos: $$\mathcal D = \{\partial I^n\} \cup \{\{x\} \mid x \in I^n - \partial I^n\} $$ En palabras, cada elemento de descomposición de $\mathcal D$ es el subconjunto único $\partial I^n$ o un subconjunto de un punto $\{x\}$ como $x$ varía sobre $I^n - \partial I^n$ . El conjunto subyacente del espacio cociente $I^n / \partial I^n$ es simplemente el conjunto $\mathcal D$ mismo. El mapa de cociente $q : I^n \to I^n / \partial I^n$ asigna a cada $x \in I^n$ el elemento único $q(x) \in \mathcal D$ tal que $x \in q(x)$ . La topología del cociente es la topología más fuerte en $I^n / \partial I^n$ tal que la función $q$ es continua; de forma equivalente, un subconjunto $U \subset I^n / \partial I^n$ está abierto si y sólo si, $q^{-1}(U) \subset I^n$ está abierto.

Si definimos el punto base de $I^n / \partial I^n$ para ser $i_0 = \{\partial I^n\}$ y, a continuación, demostrar que $(I^n / \partial I^n,i_0)$ es homeomorfo a $(S^n,s_0)$ se puede utilizar la propiedad de universalidad de los mapas cocientes: basta con construir una función suryectiva $p : I^n \to S^n$ teniendo la propiedad de que $p^{-1}\{s_0\}=\partial I^n$ que $p$ es, por lo demás, unívoco (es decir, es unívoco sobre el conjunto $S^n - \{s_0\}$ ), y tal que un subconjunto $V \subset S^n$ está abierto si y sólo si, $p^{-1}(V) \subset I^n$ está abierto.

Construcción de la función $p$ es más fácil de hacer en dos pasos, primero construyendo un homeomorfismo $(I^n,\partial I^n) \mapsto (D^n,\partial D^n)$ donde $D^n$ es el disco unitario cerrado en $\mathbb R^n$ y, a continuación, mediante un mapa de cociente $D^n \mapsto S^n$ que lleva $\partial D^n$ a $s_0$ y por lo demás es uno a uno.

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