¿Alguna vez Joseph Fourier cometió un error matemático puro?

Question

Citado por "Imre Lakatos y los disfraces de la razón" John David Kadvany, 2001:

Es notable que el siglo XIX fue un tiempo de error para matemáticas: no son descuidos triviales o conclusiones de aficionados, sino errores fundamentales en la comprensión de los conceptos matemáticos y la formulación de pruebas matemáticas. Estos errores no fueron restringido a matemáticos desconocidos pero ocurrió en los trabajos de grandes matemáticos como Joseph Fourier, Augustin Cauchy, y Denis Poisson.

Estoy muy interesado en saber cuáles son los errores matemáticos que cometió Fourier, especialmente si hay alguno en los campos que se relacionan con las series y las transformaciones que llevan su nombre.

Answer 1

Cualquiera que trabajara entonces en cualquier cosa que tuviera que ver con el cálculo o temas relacionados, difícilmente podría evitar cometer errores, ya que simplemente no había una formulación lógicamente coherente de las definiciones básicas en aquel momento. Tratar de demostrar algo sobre funciones continuas sin una definición de continuidad va a dar problemas.

Fourier, en particular, es famoso por afirmar que cualquier función periódica es igual a la suma de sus series de Fourier. Esto no tiene sentido (véase el comentario abajo). Pero es uno de los grandes errores de todos los tiempos. Tratando de dar sentido a esto, para ver lo que realmente podría ser probado en esta dirección, fue una de las motivaciones para el desarrollo del análisis riguroso moderno. De hecho, resolver esto fue parte de la motivación de al menos tres desarrollos importantes que me vienen a la mente:

• Gente como Cauchy, Weierstrass y otros inventar épsilones y deltas. Ahora podemos afirmar y demostrar cosas sobre el cálculo de forma rigurosa.

• Pero la teoría de las series de Fourier, aunque ahora tenía sentido lógico, todavía no funcionaba tan bien como nos gustaría; Lebesgue y otros inventan la integral de Lebesgue y la teoría de las series de Fourier recibe un gran impulso.

• En realidad, Cantor llegó a la teoría de conjuntos, en particular a los números transfinitos, en el curso de sus investigaciones sobre las series de Fourier. (Cuando se estudian conjuntos de unicidad para series trigonométricas, la noción de "conjunto derivado" $E'$ de $E$ es el conjunto de puntos límite de $E$ . Entonces se puede considerar $E''$ etc.; esto lleva naturalmente a un estudio de $E^\alpha$ para infinitos ordinales $\alpha$ .)

(Los dos primeros puntos son muy conocidos. Para más información sobre el tercero, relativo a Cantor, la teoría de conjuntos y las series de Fourier, puede consultar aquí o aquí . Will R sugiere que busques aquí ; no lo he visto, Internet es demasiado lento para YouTube, pero una conferencia de Walter Rudin sobre el tema seguro que es genial).

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Comentario No tenía ni idea de que la afirmación de que existe una función (continua) con una serie de Fourier divergente fuera controvertida. Escribir un ejemplo explícito no es fácil; cualquier función continua que haya encontrado Fourier hace tienen una serie de Fourier convergente.

Pero demostrar la existencia es muy sencillo, desde el punto de vista correcto. Digamos que $s_n(f)$ es el $n$ -suma parcial de la serie de Fourier para $f$ y $D_n$ es el núcleo de Dirichlet, por lo que $$s_n(f)(0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)D_n(t)\,dt.$$ La norma de $s_n(f)(0)$ como una función lineal sobre $C(\Bbb T)$ es la misma que la norma de $D_n$ considerada como una medida compleja, que a su vez es igual a $\|D_n\|_1$ . Es fácil ver que $\|D_n\|_1\ge c\log n$ . Así que el Principio de Acotamiento Uniforme, también conocido como el Teorema de Banach-Steinhaus, muestra que existe $f\in C(\Bbb T)$ tal que $s_n(f)$ no tiene límites.

Answer 2

Es de suponer que la referencia es a:

• Imre Lakatos, Pruebas y refutaciones: La lógica del descubrimiento matemático (1977), Apéndice 1.1 Defensa de Cauchy del "Principio de Continuidad , página 127-on,

refiriéndose al ejemplo de Fourier de la serie convergente de funciones continuas que tiende a una función discontinua de Cauchy, en el Memorándum sobre la propagación del calor (1812).

Pero no estamos hablando de "errores" como errores de cálculo o cosas así; lo que Lakatos está discutiendo son "excepciones" a algún teorema general en el que la demostración descuida alguna condición necesaria para la validez general de la demostración.

Answer 3

Fourier tenía razón en su conjetura sobre la expansión de las funciones en una serie de Fourier, si se tiene en cuenta lo que eran las "funciones" en ese momento. Es divertido abalanzarse sobre Fourier, y me he dado cuenta de que mucha gente ha bebido ese Kool-Aid. Sin embargo, los hechos no apoyan lo que la gente suele afirmar. La Teoría de Conjuntos no existía, y las funciones generales no se habían concebido. Las funciones generales en la época de Fourier eran arcos a trozos, y Fourier sí demostró la convergencia a la media de los límites izquierdo y derecho para dichas funciones. Es falso que Dirichlet diera la primera prueba de este hecho. De hecho, la prueba de Dirichlet fue casi idéntica a la dada por Fourier, y Fourier dio el "núcleo de Dirichlet". Es muy posible que Dirichlet tomara su prueba del manuscrito de Fourier que se había negado a publicar. Es cierto que Fourier también dio varias demostraciones erróneas pero la prueba del núcleo de Dirichlet debería llamarse realmente el núcleo de Fourier.

Imagínese hacer lo que hizo Fourier en una época en la que aún no se había definido lo siguiente: (1) La integral de Riemann (2) un Número Real (3) Teoría de Conjuntos y funciones generales (4) Finalización de un espacio y Convergencia de una Secuencia de Cauchy (5) Análisis Funcional (6) Espacio de Producto Interno (7) La desigualdad de Cauchy-Schwarz. Es importante mantener la perspectiva histórica, y tener en cuenta que gran parte del Análisis surgió al tratar de resolver las afirmaciones de Fourier.

Citando el apreciado libro de 1926 Introducción a la teoría de las series e integrales de Fourier por H. S. C arslaw,

Answer 4

Además de otras buenas respuestas, quizá valga la pena señalar que si no insistimos en que las funciones sean "puntuales", y no insistimos en que la convergencia de las sumas parciales de las series de Fourier sea puntual, entonces no hay dificultad en hacer completamente legítima una interpretación muy amplia (no la original de Fourier) de que "todo está representado por su serie [de Fourier]". Un punto de partida es el hecho (originalmente inquietante para mí) de que mientras las series de Fourier de funciones continuas convergen en $L^2$ Hay problemas con la convergencia puntual. Pero no hay problemas con $L^2$ convergencia incluso para $L^2$ funciones. La simplicidad de los aspectos del espacio de Hilbert se aprovecha en ( $L^2$ -) Los espacios de Sobolev (iniciados c. 1906-7 por Beppo Levi y G. Frobenius bajo la forma de "normas de energía", y luego sistemáticamente por Sobolev en los años 30)... que lleva a la afirmación de que cada distribución en el círculo tiene una serie de Fourier que converge a ella en un espacio de Sobolev adecuado. La diferenciación por términos está siempre justificada (si se interpreta de forma distributiva). Y así sucesivamente.

Por ejemplo, la objeción de que $\sum_{n\in\mathbb Z} 1\cdot e^{2\pi inz}$ no converge puntualmente es esencialmente irrelevante para el hecho demostrable de que hace convergen a la periódica de Dirac $\delta$ en el espacio de Sobolev $H^{-1/2-\epsilon}$ por cada $\epsilon>0$ , donde $H^s$ es la terminación de las funciones suaves en el círculo con respecto a la $H^s$ norma definida al principio en las funciones de prueba por $|f|^2_s=\sum_{n\in\mathbb Z} |\widehat{f}(n)|^2\cdot (1+n^2)^s$ .

Mi interpretación de tales posibilidades es que, en muchas aplicaciones (tanto a las ciencias físicas como a situaciones matemáticas más esotéricas) la razón por la que las series de Fourier funcionan tan bien es que, a pesar de nuestra heredada inclinación a preocuparnos por el comportamiento puntual, no es el comportamiento puntual lo que importa mucho, sino, más bien, varios Promedio de versiones.