¿El argumento de Frattini se aplica a un subgrupo subnormal?

Question

Argumento de Frattini: Si $G$ es un grupo finito con subgrupo normal $H$, y si $P$ es un Sylow $p$-subgrupo de $H$, entonces $G=N_G(P)H$, donde $N_G(P)$ denota el normalizador de $P$ en $G.

Recordemos que un subgrupo $H$ de $G$ se llama un subgrupo subnormal de $G$ si existe una cadena $H=H_0 \leq H_1 \leq \cdots \leq H_r = G$ de subgrupos de $G$ tal que $H_i$ es normal en $H_{i+1}$ para todo i.

¿Es cierta la afirmación anterior cuando $H$ es un subgrupo subnormal de $G$?

Answer 1

No.

Para el contraejemplo más pequeño, tomemos $G=D_8$ el grupo diedral de orden $8$ dado por $G=\langle x,y | y^4=x^2=1, x^{-1}yx=y^{-1}\rangle$. Sea $H=\langle x\rangle$ que es subnormal. Tenemos $P=H$ y $N_G(P)=\langle x, y^2 \rangle.