¿El argumento de Frattini es válido para un subgrupo subnormal?

Question

El argumento de Frattini: Si $G$ es un grupo finito con un subgrupo normal $H$ y si $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $H$ entonces $G=N_G (P)H$ , donde $N_G (P)$ denota el normalizador de $P$ en $G$ .

Recordemos que un subgrupo $H$ de $G$ se llama subgrupo subnormal de $G$ si existe una cadena $H=H_0 \leq H_1\leq \cdots \leq H_r =G$ de subgrupos de $G$ para que $H_i$ es normal en $H_{i+1}$ para todo i.

¿Es cierta la afirmación anterior cuando $H$ es un subgrupo subnormal de $G$ ?

Answer 1

No.

Para el contraejemplo más pequeño toma $G=D_8$ el grupo diédrico de orden $8$ dado por $G=\langle x,y | y^4=x^2=1, x^{-1}yx=y^{-1}\rangle$ . Sea $H=\langle x\rangle$ que es subnormal. Tenemos $P=H$ et $N_G(P)=\langle x, y^2 \rangle$ .