factorización única en un anillo

Question

Estoy tratando de mostrar que $R := \mathbb{Z}[x,y,z]/(x^2-yz),$ donde $(x^2-yz)$ es el ideal más pequeño de $\mathbb{Z}[x,y,z]$ que contiene $x^2-yz,$ no es un dominio de factorización única (UFD) utilizando el hecho de que en este anillo $x^2 = yz,x,y,z$ son todos irreducibles y $x$ no se asocia con $y$ ou $z$ .

Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar que $x,y,z$ son irreducibles en este anillo. Es evidente que tengo que demostrar que si $x=ab$ para algunos $a,b \in R,$ entonces $a$ ou $b$ es una unidad. Podría mostrar $x$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x,y,z]$ utilizando un argumento de grado, pero no estoy seguro de que esto sea útil. Creo que puedo demostrar que $x$ no está asociada a y ni a z. Supongamos que $x=uy$ para alguna unidad $u$ en $R$ . Entonces $x-uy \in (x^2-yz)$ así que $x-uy = (f)(x^2-yz)$ para algunos $f \in \mathbb{Z}[x,y,z].$ Pero como $u$ es una unidad, existe $v \in R$ para que $uv = 1.$ Así que $\deg(u),\deg(v) \leq 0$ (aquí $\deg(0) := -\infty$ ). Pero entonces $(f)(x^2-yz)$ no puede contener el término $x,$ una contradicción. Por lo tanto, $x$ no se asocia con $y$ . Un argumento muy similar muestra que $x$ no se asocia con $z$ .

¿Cómo se puede demostrar que $x,y,z$ son irreducibles en este anillo? Además, ¿he demostrado correctamente que $x$ no se asocia con $y$ ou $z$ ?

Answer 1

Su prueba de que $x$ no se asocia con $y$ ou $z$ no es del todo correcto, no se deduce que $uv=1$ en $\mathbb Z[x,y,z]$ , sólo en $R$ .

Pero estás en el camino correcto: En $x-uy=f\cdot(x^2-yz)$ el lado izquierdo contiene el monomio $x$ , pero el lado derecho no puede.

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Para la irreductibilidad se puede construir un isomofismo $$R\to \mathbb Z[t^2,ts,s^2]$$ enviando $x\mapsto ts,y\mapsto t^2,z\mapsto s^2$ .

Ahora, por ejemplo $ts$ sólo tiene una factorización no trivial $ts=t\cdot s$ en $\mathbb Z[t,s]$ y esta factorización no funciona en el subring $\mathbb Z[t^2,ts,s^2]$ Por lo tanto $ts$ es irreducible en ese anillo y $x$ es irreducible en $R$ .