Información de fondo:
De Walter A Strauss Capítulo 2.
Imagina una cadena infinita con constantes $\rho$ et $Y$ . Entonces $\rho u_{tt} = T u _{xx}$ para $-\infty < x < \infty$ . Por la física sabemos que la energía cinética es $\frac{1}{2}m v^2$ que en nuestro caso tiene la forma $KE = \frac{1}{2}\rho \int u_t^{2} dx$ . Esta integral, y las siguientes, se evalúan a partir de $-\infty$ a $\infty$ . Para estar seguros de que la integral converge, suponemos que $\phi(x)$ et $\psi(x)$ desaparecen fuera de un intervalo $\{|x|\leq R\}$ . Como ya se ha dicho, $u(x,t)$ [y por lo tanto $u_t(x,t)$ ] se desvanecen para $|x| > R + ct$ . Diferenciando la energía cinética, podemos pasar las derivadas bajo el signo integral para obtener $$\frac{d KE}{dt} = \rho \int u_t u_{tt} dx$$ A continuación, sustituimos la EDP $\rho u_{tt} = T u_{xx}$ e integrar por partes para obtener $$\frac{d KE}{dt} = T\int u_t u_{xx} dx = T u_t u_x - T \int u_{tx} u_x dx$$ El término, $T u_t u_x$ se evalúa en $x = \pm \infty$ y así se desvanece. Pero el término final es una derivada pura ya que $u_{tx} u_x (\frac{1}{2} u_x^{2})_{t}$ . Por lo tanto, $$\frac{d KE}{dt} = -\frac{d}{dt}\int \frac{1}{2} T u_{x}^{2} dx$$ Dejemos que $PE = \frac{1}{2}T\int u_{x}^{2}dx$ y que $E = KE + PE$ . Entonces $d KE/dt = - d PE/dt$ ou $dE/dt = 0$ . Así, $$E = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(\rho u_t^{2} + T u_{x}^{2})dx$$ es una constante independiente de $t$ . Esta es la ley de conservación de la energía.
Pregunta:
Consideremos una región abierta y acotada $U$ y el problema de Neumann $$\begin{cases} -\Delta u - f \ \ &\text{in} \ U\\ \frac{\partial u}{\partial v} = g \ \ &\text{on} \ \partial U \end{cases}$$ Supongamos que $f$ et $g$ satisfacen la restricción $$-\int_{U}f dx = \int_{\partial U}g dS$$ para que sea posible una solución.
a.) Demuestre que las soluciones de este problema son únicas hasta las constantes aditivas, utilizando un argumento energético.
b.) (Principio de Dirichlet para el problema de Neumann)
Dejemos que $\mathcal{A} = C^{2}(\bar{U})$ . Definir la energía $$E[w] = \int_{U}\frac{1}{2}|Dw|^2 - fw dx - \int_{\partial U}gw dS$$ para $w\in\mathcal{A}$ . Demostrar que $u\in \mathcal{A}$ es una solución al problema de Neumann si y sólo si $E[u] = \min_{w\in\mathcal{A}}E[w]$ .
Observación: Nótese que, a diferencia del problema de frontera de Dirichlet, la condición de frontera no se incluye en la definición de $\mathcal{A}$ . Para el $(\Leftarrow)$ dirección, debe demostrar que $u$ también satisface la condición de contorno.
Intento de demostración a.) Supongamos que tenemos dos soluciones $u_1(x)$ et $u_2(x)$ . Sea $v(x) = u_1(x) - u_2(x)$ . Entonces tenemos $$\begin{cases}\Delta v(x) = 0 \ \ &\text{for} \ x\in U\\ \frac{\partial v}{\partial n}(x) = 0 \ \ &\text{for} \ x\in \partial U \end{cases} $$ Así que,
\begin{align*} 0 = -\int_U v \Delta v dx &= -\int_{U} v\cdot div(grad (v))dx\\ &= -\int_{\partial U} (v \cdot grad(v))\cdot n dS + \int_{U} grad(v) \cdot grad(v)dx\\ &= -\int_{\partial U}v \frac{\partial v}{\partial n}dS + \int_{U} |\nabla v|^2 dx\\ &= \int_{U} |\nabla v|^2 dx\\ \end{align*}
Así que, $\Delta v(x) = 0$ para todos $x$ et $v(x) = c$ donde $c\in\mathbb{R}$ constante. Esto implica $u_1 = u_2$ y por lo tanto la solución es única.
No estoy seguro de que la prueba de la parte a.) sea correcta. Todavía no sé cómo empezar b.), pero estoy abierto a sugerencias.
