¿Por qué no es $\int\sin^2(⁡x)\,dx$ igual a $\frac{\sin^3(x)}3\frac{-1}{\cos(x)}+c$ ?

Question

Utilizando la identidad de "medio ángulo" de la trigonometría $\sin^2(x)=\frac12(1-\cos(2x))$ :

$$\int\sin^2(x)\,dx =\int\left(\frac12-\frac12\cos(2x)\right)\,dx =\frac12x-\frac14\sin(2x)+c$$

Sé que el método de abajo está mal. Pero siguiendo los pasos básicos de la integral que se puede utilizar para otras funciones como $(2x+1)^2$ ¿Por qué no funciona este paso? $$\int\sin^2(x)\,dx =\frac{\sin^3(x)}3\frac{-1}{\cos(x)}+c$$

Answer 1

En pocas palabras: no funciona porque no funciona. Si intentas diferenciar esa expresión, no conseguirás $\sin^2(x)$ . Se puede utilizar una especie de "regla de la cadena inversa" si se quiere, en funciones como $(2x+1)^2$ para obtener una antiderivada como $\frac16(2x+1)^3$ porque la derivada de la función interior es constante. Cuando la función interior tiene una derivada que depende de $x$ Esto no es tan fácil (por función interior en este caso me refiero a $2x+1$ ). Si la función es $(2x^2+1)^2$ En el caso de la función interior, se hace más difícil utilizar el método de la "regla de la cadena inversa" para encontrar una antiderivada. No se puede simplemente dividir por la derivada de la función interior ahora (en la antiderivada), porque depende de $x$ y si se divide por una función de $x$ que cambia la derivada por completo. Así que en el caso de $\sin(x)$ que tiene una derivada que depende de $x$ no podemos utilizar esta "regla de la cadena inversa".

Para $f(x)=(2x+1)^2$ podemos utilizar la "regla de la cadena inversa" aplicando una sustitución (explícita o implícita). Dejando que $u=2x+1$ vemos que $du=2dx$ Así que..: $$\int f(x)\,dx=\int (2x+1)^2\,dx=\int (u)^2\frac12\,du=\frac13u^3+c$$ Ahora, en el caso de $g(x)=\sin^2(x)$ vemos que la función interior $\sin(x)$ tiene una derivada no constante, $\cos(x)$ . Así que para hacer una sustitución de la función interior, obtendríamos $u=\sin(x)$ así que $du=cos(x)dx$ y luego: $$\int g(x)\,dx=\int\sin^2(x)\,dx=\int u^2\frac1{\cos(x)}\,du$$ lo que hace que las cosas sean realmente peores.

Answer 2

Dejemos que $u=sin(x)$ . Esto implica que $du = cos(x)dx$ Tenga en cuenta que $x = arcsin(u)$ Así que $cos(x) = \sqrt{1-u^2}$ . Esto hace que la integral:

$$\int{u^2 \sqrt{1-u^2}du}$$ que tampoco es una integral especialmente bonita. La razón por la que funciona para el ejemplo que has dado es que has realizado una subtitución de $u=2x+1$ para que $du = 2dx$ .

En el primer caso, la sustracción exigía que la cantidad sustituida fuera cambiante de forma no lineal con respecto a $x$ que no dio lugar a la simplificación deseada. En este último caso, la variable sustituida cambia a un ritmo de $2$ . Un factor de $2$ en una integral se puede sacar, ya que es un operador lineal.

Answer 3

La derivada de la función de la derecha en tu alternativa sugerida no es el integrando - porque para calcular esa derivada necesitas usar la regla del cociente y calcular la derivada de $\cos(x)$ .

Los "pasos básicos... para otras funciones" funcionan en tu ejemplo porque la función dentro del paréntesis tiene una derivada constante.