Siguiendo su trabajo, deducimos que para cualquier $x,y \in E$ tenemos $$ (f(x) \mid y) + (f(y) \mid x) = 0 \implies (f(y) \mid x) = -(f(x)\mid y). $$ Ahora, supongamos que $x \in \ker f$ . Cada elemento de $\operatorname{im}(f)$ puede expresarse como $f(y)$ para algunos $y \in E$ . Observamos que para cualquier $x \in \ker f$ et $y \in E$ tenemos $$ (f(y)\mid x) = -(f(x) \mid y) = -(0 \mid y) = 0. $$ Es decir, los elementos $x$ et $f(y)$ son ortogonales. En otras palabras, hemos deducido que $\ker f$ et $\operatorname{im} f $ son subespacios ortogonales.
Por el teorema de nulidad de rango, sabemos que $\dim \ker f + \dim \operatorname{im} f = \dim E$ . Así, podemos deducir que $\ker f$ et $\operatorname{im} f$ son realmente ortogonales complementos .
Aquí hay una solución utilizando la transformación adyacente.
Dejemos que $f^*$ denotan el adjunto de $f$ . Utilizando el hecho de que $(f(x)|x) = 0$ para todos $x \in E$ deducimos que $(f^*(x)|x) = 0$ para todos $x \in E$ y se deduce que el mapa $g = \frac 12(f + f^*)$ satisface $$ (g(x)\mid x) = 0 \quad \text{for all } x \in E. $$ Deduce del hecho que $g$ es autoadjunto y la condición anterior de que $g=0$ . Es decir, tenemos $f + f^* = 0 \implies f^* = -f$ (es decir, que $f$ es "skew-adjoint"). Para cualquier transformación $f$ tenemos $$ \ker(f) = \operatorname{im}(f^*)^\perp, $$ donde $U^\perp$ denota el complemento ortogonal de un subespacio $U \subseteq E$ . Sin embargo, debido a que $f^* = -f$ deducimos que $\operatorname{im}(f^*) = \operatorname{im}(f)$ para que $$ \ker(f) = \operatorname{im}(f)^\perp. $$
