Potencias perfectas en la solución de una determinada ecuación de Pell

Question

El solución fundamental de la ecuación Pell $$x^{2}-3y^{2}=1$$ es $2+\sqrt{3}$ .

Me parece que si $x_{n}+y_{n}\sqrt{3}$ , $x_{n}, y_{n} \in \mathbb{N}$ es una solución de dicha ecuación de Pell y $x_{n}$ es una potencia de $7$ entonces $n=2$ .

Simples argumentos de congruencia nos permiten concluir que tal $n$ no puede ser un número natural impar o divisible por $4$ .

¿Ves una manera de mostrar que $n$ no puede ser congruente con $2$ modulo $4$ a menos que $n=2$ ?

Answer 1

Sabemos que $x_n + y_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n$ . Si $n=4k+2$ para algunos $k\ge 0$ entonces $$x_n + y_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n = (7+4\sqrt{3})^{2k+1}, $$ lo que implica que $$x_n = \sum_{i=0}^{k}C(2k+1, 2i) 7^{2k+1-2i}(4\sqrt{3})^{2i} = \sum_{i=0}^{k}C(2k+1, 2i) 7^{2k+1-2i}48^i$$

Tenemos que considerar cuántos factores de $7$ cada $C(2k+1, 2i)$ contiene. No tengo tiempo ahora y voy a reclamar que: si $7^\alpha || 2k+1$ tenemos $7^{\alpha + 1} \mid 7^{2k-2i}C(2k+1, 2i)$ para $0\le i<k$ . La prueba utiliza los factores de un primo en un factorial expresado en la suma de funciones piso.

Si la afirmación es válida, entonces $7^{\alpha + 2}$ divide todos los términos menos el último.

Reclamación: $m>n>0$ , $p$ es un número primo, $\alpha >0$ tal que $p^\alpha || m$ (es decir, $p^\alpha \mid m$ y $p^{\alpha+1} \nmid m$ ). Si $p^\beta || C(m, n)$ entonces $\beta \ge \alpha - s$ , donde $s\ge 0$ y $p^s \le n$ y $p^{s+1} < n$ .

Prueba de la reclamación: $$\beta =\sum_{i=1}^{\infty} ([\frac{m}{p^i}] - [\frac{n}{p^i}] - [\frac{m-n}{p^i}])$$

Cada término de la suma contribuye $0$ o $1$ . Si $n=1$ El primer $\alpha$ los términos contribuyen $1$ cada uno; para el general $n$ , excepto la primera $s$ términos, la contribución de cada término es al menos tan buena como en $C(m, 1)$ .