Asegurarse de que se ha comprendido un concepto

Question

Tengo una pregunta a la que he estado dando vueltas durante mucho tiempo.

¿Cómo puedes asegurarte de que has comprendido completamente un concepto o el verdadero significado de un teorema en matemáticas?
Quiero decir, ¿cómo puedes darte cuenta de que has captado totalmente el concepto y que es hora de pasar a las siguientes páginas del libro que estás leyendo?

Gracias de antemano por sus respuestas.

Answer 1

Supongo que es difícil estar completamente seguro y con frecuencia hay varios niveles de "comprensión" y varias interpretaciones para el "verdadero significado" de los conceptos y resultados. Puedo mencionar algunas buenas señales: a) nadas como un pez en las notaciones alrededor del concepto/teorema, b) puedes demostrar el teorema por ti mismo sin ver la demostración primero, o al menos puedes demostrarlo después de ver la demostración. Y para un concepto: puedes llegar a las pruebas de los resultados básicos sobre el concepto. c) El concepto/teorema te parece natural e incluso te puedes ver descubriéndolo. d) puedes plantear y responder (correctamente) a ti mismo preguntas fáciles sobre el concepto/resultado.

Por supuesto, debes estar preparado para situaciones en las que crees que tienes una comprensión total y luego descubres que no la tienes y la vuelves a ganar y a perder... Dicho esto, hay una cierta sensación cuando se trata de problemas/teoremas/conceptos de "lo tengo", la transición de fase entre la no comprensión o la comprensión vaga y una comprensión completa o casi completa. Deberías ser capaz de identificar esta transición. (Y la resolución de problemas puede darte una buena práctica).

Un buen consejo al respecto es interactuar: compara tus conocimientos con los de tus compañeros y no tengas reparo en hacer preguntas.

(No me resisto a mencionar la historia de un profesor que se quejó a un colega: Lo enseñé una vez y el alumno no lo entendió; lo enseñé por segunda vez y no lo entendieron; entonces lo enseñé por tercera vez y He comprendido Pero aún así no lo entendieron).

Answer 2

Intenta explicar el concepto a los demás.

Si ellos también lo entienden, entonces puedes estar seguro de que tienes una buena comprensión de lo que está pasando. Si te hacen una pregunta natural, y no puedes responder, entonces puede ayudarte a repensar el concepto de una manera nueva. También pueden aportar un punto de vista diferente para enriquecer su comprensión.

"Lo que está bien concebido se expone con claridad y las palabras para decirlo llegan con facilidad" (Boileau)

[lo que está bien concebido se dice claramente... y las palabras para decirlo fluyen con facilidad].

Answer 3

Me gusta adoptar una actitud lúdica ante las cosas. Al principio pruebo el concepto en varios contextos elementales o incluso triviales, y veo lo que sucede. Esto es especialmente útil cuando el resultado no coincide con lo que esperaba inicialmente del concepto, ya que me lleva a revisar mis intuiciones sobre el mismo. Pero cuando se ajusta a mis expectativas iniciales, entonces da apoyo a esas intuiciones iniciales, construyendo mi comprensión. Entonces puedo pasar a ejemplos más sustanciales. Poco a poco, al explorar el concepto en una variedad de estos contextos más sustantivos, se llega a una comprensión más profunda del concepto.

Así que eventualmente, se vuelve claro, y lo sabes.

Sin embargo, también creo que, en última instancia, nunca se tiene la plena certeza de que un concepto se entienda por completo. Seguramente, todos aprendemos a veces cosas nuevas sobre conceptos que antes creíamos comprender por completo. Tal vez, sin saberlo, hayamos considerado ejemplos sólo de un determinado tipo y, por lo tanto, no hayamos apreciado plenamente las posibilidades y, tal vez, hayamos construido inadvertidamente intuiciones incorrectas en ese sentido. Y aunque esto ocurre a veces, afortunadamente, para la mayoría de nosotros es poco frecuente.

Así que siga adelante cuando sienta que entiende el concepto y algunos ejemplos principales, pero esté dispuesto a reconsiderar las cosas desde el principio cuando salgan a la luz nuevos ejemplos extraños.

Answer 4

Aunque todos queremos "entender los conceptos", te animo a que midas lo bien que estás aprendiendo matemáticas no por el hecho de que "entiendas un concepto" o no (porque esto es, al final, una definición demasiado vaga), sino por el hecho de que puedas utilizar lo que has aprendido para hacer algo útil. Para los estudiantes, esto suele significar hacer los problemas al final de la sección o el capítulo. Para los que utilizan las matemáticas como herramienta (como Steve Huntsman), significa escribir software que utilice las matemáticas aprendidas. Tanto para los estudiantes como para los profesionales, también suele significar resolver los detalles, normalmente mediante cálculos de ejemplos que ilustran lo que se acaba de aprender. Y, por supuesto, si eres o te esfuerzas por ser un matemático puro, también puede significar utilizar lo aprendido para demostrar otros enunciados matemáticos que quieras o necesites.

Si eres capaz de hacer alguna de estas cosas con lo que acabas de aprender, entonces definitivamente debes pasar a lo siguiente. Porque, como ya te han aconsejado otros, es posible que quieras seguir adelante, aunque no puedas hacer nada útil todavía. Cuando aprendes matemáticas, deberías intentar hacer algo útil (por ejemplo, elaborar ejemplos y/o resolver problemas) con la mayor parte de lo que estás aprendiendo. Sin embargo, todo el mundo se encuentra con cosas que no se asimilan a pesar de un gran esfuerzo. Mientras aprendas la mayor parte de lo demás, a menudo es aconsejable seguir adelante y volver más tarde, cuando sepas más y tengas más experiencia. Todo resulta más fácil, si no al segundo intento, normalmente al décimo.

Answer 5

Hay una famosa cita de John Von Neumann:

"En matemáticas no se entienden las cosas. Sólo te acostumbras a ellas".

No sé a ciencia cierta lo que esto significa, pero, tal vez significa que preguntar si entiendes algo es una pregunta que no tiene realmente sentido, de hecho tu pregunta es realmente preguntar: ¿Cuál es la definición de comprensión? Esta pregunta puede estar condenada desde el principio. Incluso si pudiéramos ponernos de acuerdo en alguna definición y la aplicaras a algún concepto matemático, estoy seguro de que en algún momento posterior, después de haber aprendido otras cosas, tu nueva perspectiva te hará sentir que nunca entendiste ese concepto de todos modos. Así que mi consejo es que tomes tu concepto y te acostumbres a él. Aquí tienes algunas ideas sobre cómo hacerlo.

1)Si se trata de una definición, intenta pensar en algunos ejemplos y no ejemplos. Los no ejemplos son especialmente útiles cuando el concepto consiste en añadir un adjetivo a algo que ya se conoce, como añadir "primo" a "número".

2) Si se trata de un teorema, trata de identificar exactamente dónde se utilizan las hipótesis en la demostración, y trata de pensar en contraejemplos al enunciado a medida que eliminas esas hipótesis.

3) Si hay ejercicios, es decir, si estás leyendo un libro de texto, inténtalo. Incluso si no llegas a todos ellos, al menos lee los enunciados.

4) Cuando creas que te has acostumbrado a tu idea, intenta explicársela a alguien. Esta es una buena manera de ver si has pasado algo por alto.

5) En cuanto al comentario de pasar a las siguientes páginas: No esperes recorrer un libro línea por línea y no tener que volver atrás. Lo que hay más adelante en el libro puede ayudar.

En definitiva, si trabajas mucho con tu concepto dejará de intimidarte. No te preocupes por alcanzar la comprensión (o lo que es lo mismo, ver el verdadero significado), ya que esto nunca sucederá, lo cual está bien, ya que lo importante es el intento. Así que sigue intentándolo y diviértete haciéndolo.