Diferentes tamaños de infinito

Question

Corrígeme si me equivoco, pero esto es lo que nos enseñaron en precal: $$\lim_{x\rightarrow\infty}x=\infty$$ $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^{2}=\infty$$ Pero también sabemos que $n^{2}>n$ si $n\notin [0,1]$

¿Significa eso que algunos infinitos son mayores que otros? ¿Por qué no definimos explícitamente el infinito para poder mostrar las diferencias de tamaño?

Gracias de antemano.

Answer 1

La notación $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$ donde $f$ es cualquier función de valor real de una variable real significa exactamente que como $x$ se hace arbitrariamente grande, también lo hace $f(x)$ . Eso es todo lo que significa. Este uso no tiene relación con ninguna idea metafísica sobre el infinito.

También se da el caso de que en el campo matemático de la teoría de conjuntos, hay toda una elaborada teoría de números transfinitos . Esta es un área muy interesante de las matemáticas y los fundamentos son accesibles a un nivel elemental, así que echa un vistazo a esto si estás interesado. Este uso del infinito no está relacionado con el infinito del primer párrafo.

La observación que hizo sobre $x$ y $x^2$ resulta que lleva a la vez otro área interesante de las matemáticas: a saber el estudio de la velocidad de crecimiento de las funciones . Por ejemplo, como ha señalado, las funciones $x$ y $x^2$ cada uno va al infinito (lo que significa que crecen sin límite) como $x$ se hace grande. Y sin embargo, $x^2$ crece "más rápido" que $x$ de alguna manera.

Las tasas de crecimiento de las funciones se han estudiado desde finales del siglo XIX. Siempre han sido importantes en algunas áreas de la matemática pura; y hoy son de extremo interés en la informática.

Supongamos que tenemos dos algoritmos cuyo tiempo de ejecución aumenta en función de la longitud de su entrada (ordenar una lista, por ejemplo). Entonces, a medida que la entrada se hace más grande, el algoritmo que crece más rápido comienza a tomar una cantidad de tiempo poco práctica. Los informáticos siempre están interesados en encontrar algoritmos que crezcan lentamente.

La tasa de crecimiento de una función dada se describe por su Notación Big-O . El estudio de qué funciones tienen aproximadamente la misma tasa de crecimiento es teoría de la complejidad computacional .

Answer 2

Me gusta mucho esta pregunta. La respuesta pedante (y la correcta en un examen) es, por supuesto, "Son lo mismo". Como límites, ambos son iguales al símbolo formal " $+\infty$ "." Sin embargo, eso es bastante aburrido. Hay una clara intuición de que el comportamiento de $x^2$ en el infinito es "mayor" que el comportamiento de $x$ El reto consiste en tratar de averiguar cómo aclarar esa diferencia. En matemáticas, a veces estas intuiciones no llegan a ninguna parte: cuando se intenta entender la intuición lo suficientemente bien como para expresarla con claridad, se evapora. En este caso, realmente estás en algo.

Tal y como yo lo veo, hay tres maneras de hablar de lo que está pasando. Primero, está la forma pedante. Hay una buena razón por la que, si queremos llamar a lo que estamos haciendo un "límite", no debemos distinguir entre el comportamiento de las dos funciones. Luego, está la idea de "tasa de crecimiento asintótica": aunque ambas funciones tienden a $+\infty$ podemos comparar la rapidez esa tendencia es. A los informáticos les gusta este punto de vista, porque es útil para analizar el rendimiento de los algoritmos con grandes entradas. Por último, y mi favorita, es la idea de comparar "gérmenes en el infinito". Ese método nos permite hacer una comparación mucho más fina.

Límites

En primer lugar, los límites tienen que ver con la continuidad. Cuando decimos, por ejemplo, $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \text{,}$$ lo que realmente queremos decir es que, si queremos considerar $\frac{\sin(x)}{x}$ como función continua, su valor en 0 tendría que ser 1. $\frac{\sin(x)}{x}$ no está realmente definida en 0 (ya que tendríamos que dividir por 0), por lo que se trata de ampliar el dominio de la función. Entonces, ¿qué significa esto para los límites que implican el infinito?

Imagina por un momento que en la línea real, sentada más allá de todos los números reales positivos, hubiera un único punto extra llamado " $+\infty$ ." Del mismo modo, más allá de todos los números reales negativos podría estar un punto llamado " $-\infty$ ." La línea real no se parece a esto (esos puntos no existen); lo que he descrito en su lugar es otra cosa que llamamos la Línea real ampliada , a veces denotado como $\overline{\mathbb{R}}$ .

Ahora, nuestras funciones originales $x$ y $x^2$ ir de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Resulta que tiene sentido hablar de lo que significaría la continuidad para las funciones que implican $\overline{\mathbb{R}}$ no sólo $\mathbb{R}$ . Así que podemos preguntar: si quisiéramos ampliar el dominio de estas funciones a $\overline{\mathbb{R}}$ (y tal vez ampliar el alcance a $\overline{\mathbb{R}}$ también, si es necesario), ¿cuál debería ser el valor de estas funciones en $\pm \infty$ ? Nuestros límites nos indican la respuesta.

Al hablar del comportamiento de nuestras funciones en el infinito en este sentido, no tiene sentido distinguir entre ellas: sólo estamos añadiendo un punto en cualquier extremo de la recta numérica real.

Tasa de crecimiento asintótica

Como saben, ambos $x$ y $x^2$ acercarse a $+\infty$ como $x$ se acerca a $+\infty$ . Sin embargo, esa afirmación sólo nos dice hacia dónde van; aún podemos preguntar sobre con qué rapidez lo hacen. Como te dice tu intuición, $x^2$ se dirige hacia allí mucho más rápido que $x$ es. Podemos cuantificar eso, si queremos:

Definición. Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^{>0}$ , digamos que $f$ crece asintóticamente más rápido que $g$ en $+\infty$ si $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty\text{.}$$ En ese caso, escriba $$f(x) \gg g(x)\text{.}$$

En su ejemplo concreto, tenemos claramente que $x^2 \gg x$ en este sentido.

Esta noción es útil cuando se trata de analizar el comportamiento cualitativo de un sistema compuesto. A grandes rasgos, sabemos que si $f \gg g$ la contribución de las partes que parecen $f$ acabará por dominar la contribución de las partes que parecen $g$ .

Gérmenes en el infinito

Gérmenes son una forma precisa de hablar de "cómo se comporta una función en el infinito". A diferencia de las tasas de crecimiento asintótico, estos gérmenes capturan tous el comportamiento de la función en el infinito, ignorando todo lo demás.

Definición. Funciones $f(x)$ y $g(x)$ tienen el mismo germen en $+\infty$ si hay algún número $a$ tal que $f(x) = g(x)$ para todos $x > a$ .

Del mismo modo, digamos que (el germen de) $f$ es mayor que (el germen de) $g$ en $+\infty$ si hay algún número $a$ tal que $f(x) > g(x)$ para todos $x > a$ .

Por ejemplo, consideremos las funciones $|x|$ , $|x-1|+1$ y $|x-2|+2$ . Todas estas funciones son diferentes en su conjunto, pero son idénticas una vez que pasamos $x = 2$ . (Ver gráficos de estas funciones aquí .) En consecuencia, decimos que los tienen el mismo germen en $+\infty$ .

En esta vista, $x^2 > x$ en $+\infty$ simplemente porque $x^2$ es finalmente mayor que $x$ . Nótese que esta noción es mucho más fina que las tasas de crecimiento asintótico, que implican los límites de los cocientes: $x + 1 > x$ en $+\infty$ aunque ninguno crezca asintóticamente más rápido que el otro ( $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} = 1$ ).

Hay un montón de cosas interesantes que podemos hacer con estos gérmenes en el infinito. Podemos sumar, restar y multiplicar. A veces podemos tomar sus derivadas y dividirlas por ellas. Cómo funcionan, y cuándo se comportan especialmente bien, es un área activa de investigación matemática. Véase, por ejemplo, Campos duros en Wikipedia.

Answer 3

Si eso le parece desconcertante, esto seguramente le dejará boquiabierto:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$$

aunque $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{x^2}$ para todos $x > 1$ . ¿Hay diferentes tamaños de $0$ ¿También?

---

En realidad, no hay nada especial en $\infty$ o $0$ en este sentido. Es perfectamente posible que dos funciones se acerquen al mismo límite ( cualquier límite) desde la misma dirección, pero que una función esté siempre más cerca del límite que la otra. Esto no hace que la límites sólo significa que una de las funciones se acerca al límite más rápido que la otra.

(Por supuesto, $\infty$ como límite es algo especial en otros aspectos: cuando escribimos $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ lo que realmente queremos decir es que $f(x)$ diverge sin límites como $x$ se acerca a $a$ - o como $x$ crece sin límites, si $a$ mismo es $\infty$ . Pero todas estas definiciones especiales sólo son necesarias porque el línea de números reales con los habituales métrica que usamos en ella no es topológicamente compacto y ni siquiera incluye $\pm \infty$ como puntos propios. En cambio, podemos definir fácilmente una métrica en el línea de números reales ampliada por ejemplo, por homeomórficamente mapeándolo a un intervalo cerrado, de manera que los límites en (y hasta) el infinito funcionan igual que los límites normales).

Answer 4

La notación $\lim _{x\to \infty}f(x)=\infty$ es sólo una abreviatura de $$\forall y\in \mathbb R\;\exists z\in \mathbb R\;\forall x\in \mathbb R\; (x>z\implies f(x)>y).$$

Literalmente. Nada más. No supone la existencia de un "número" $\infty.$ Es útil, tanto en la matemática pura como en la aplicada, intuir $x$ como un objeto en movimiento, con $f(x)$ variando en el tiempo como $x$ hace. Pero la lógica es que los números no se mueven ni cambian. La frase ( abreviada ) $\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty$ se trata de una propiedad que comparten todos los conjuntos de la forma $\{(x,f(x)):x>r\}$ .

Answer 5

Recuerdas mal cómo interactúan los límites con las desigualdades:

Teorema: Si

• $f(x) < g(x)$ para todos $x$ suficientemente cerca $a$
• $\lim_{x \to a} f(x)$ existe
• $\lim_{x \to a} g(x)$ existe

Entonces

• $\lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x)$

Obsérvese que "menos que" se convierte en "menos o igual que" después de tomar los límites; la cuestión es que es posible que $f(x)$ y $g(x)$ para que ambos converjan al mismo límite, pero con $g(x)$ hacerlo más rápidamente.

Para un ejemplo finito, observe que $x^2 < x$ para todos $x \in (0,1)$ Sin embargo $$\lim_{x \to 1^-} x^2 = \lim_{x \to 1^-} x$$ o si quieres verlo por limtis en $+\infty$ , $0 < \frac{1}{x}$ para todos los positivos $x$ Sin embargo $$\lim_{x \to +\infty} 0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} $$

---

Una forma de pensar en cómo $+\infty$ y $-\infty$ trabajo es observar que la recta numérica es un intervalo Sin embargo, es un intervalo sin puntos finales, como $(0,1)$ . El línea numérica ampliada se forma sumando los dos puntos extremos; así, la recta numérica puede escribirse como $(-\infty, +\infty)$ y la recta numérica ampliada es $[-\infty, +\infty]$ .

Como $x \to +\infty$ , ambos $x$ y $x^2$ acercarse al punto final correcto $+\infty$ sin llegar a ella; es que $x^2$ se acerca "más rápido".

---

A veces, queremos hablar de la tasa a la que una función se aproxima $+\infty$ (u otros valores), en cuyo caso señalaríamos que $x^2$ crece asintóticamente más rápido que $x$ como $x \to +\infty$ . Cosas como esta son objeto de análisis asintótico .