Confusión sobre la orientación de las curvas en el Teorema de Green

Question

Estoy en medio de ayudar a unos amigos con su tarea de cálculo vectorial (yo no hago este curso). Ahora en su tarea tienen la siguiente pregunta:

Considere la integral $$\oint_{C_1} \frac{-y^3 dx + xy^2 dy}{(x^2 + y^2)^2}$$ donde $C_1$ es la elipse $x^2 + 4y^2 = 4$ . Suponiendo que el Teorema de Green pueda aplicarse a la región $D$ entre el círculo $C_2 : x^2 + y^2 = 9$ y la elipse $C_1$ , demuestran que $$\oint_{C_1}\frac{-y^3 dx + xy^2 dy}{(x^2 + y^2)^2} = \oint_{C_2} \frac{-y^3 dx + xy^2 dy}{(x^2 + y^2)^2}$$ donde $C_1$ y $C_2$ se recorren en el sentido contrario a las agujas del reloj visto desde el positivo $z$ - dirección.

Ahora llamemos a $M = \frac{-y^3}{(x^2 + y^2)^2}$ y $N = \frac{xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$ . Quiero invocar algo del Teorema de Green que me dice algo así como

$$\oint_{C_1} M dx + N dy - \oint_{C_2} M dx + N dy = \int\int_D (N_x - M_y) dxdy.$$

Si esto se cumple ya que el lado derecho es cero, tendríamos nuestra igualdad deseada.

Sin embargo, lo que causa la confusión es el lado izquierdo. ¿Es válido? En todos los problemas que hemos encontrado, las curvas $C_1$ y $C_2$ se recorren en frente a direcciones. Por ejemplo $C_2$ se recorre en el sentido de las agujas del reloj y $C_1$ se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. Sin embargo, ahora ambos Las curvas se recorren en el sentido contrario a las agujas del reloj, así que ¿cómo podemos evitarlo? ¿Hay algún error en la asignación?

Gracias.

Answer 1

La región en cuestión:

El límite de $D$ con la orientación natural (en preparación para el uso del Teorema de Green) es la unión $(−C_1) \cup C_2$ , donde $C_1$ y $C_2$ se recorren en el sentido contrario a las agujas del reloj. Véase Respuesta de oenamen para la justificación adecuada. Escribir $−C_1$ significa "atravesar". $C_1$ en la dirección opuesta". Así, el teorema de Green nos da

$$\begin{align} \iint_{D} N_x - M_y \,dx\,dy &= \oint_{(−C_1) \cup C_2} M\,dx + N\,dy \\ &= \oint_{−C_1} M\,dx + N\,dy + \oint_{C_2} M\,dx + N\,dy \\ &= -\oint_{C_1} M\,dx + N\,dy + \oint_{C_2} M\,dx + N\,dy. \end{align}$$

Sólo hay que demostrar que la integral sobre $D$ es cero para obtener su igualdad.

Answer 2

El límite de $D$ es la curva $-C_1$ y $C_2$ (es decir, $C_1$ se recorre en sentido contrario). Para ver por qué la orientación de $C_1$ está invertido, echa un vistazo al diagrama de abajo. Imagina las curvas $l$ y $-l$ están superpuestos, por lo que su contribución a la integral de línea desaparece.

Observe que $N_x - M_y = 0$ dentro de $D$ por lo que la integral de superficie desaparece. (Aquí es importante que hayamos evitado la singularidad en el origen).

Answer 3

El teorema de Green dice $$\oint_{C_1}M dx+Ndy = \iint_{D_1} (N_x-M_y)dxdy$$ pas $$\oint_{C_1}Mdx+N dy = \iint_{D_1} (M_y-N_x)dxdy.$$

Entonces tenemos $$\oint_{C_1}M dx+Ndy$$ $$\oint_{C_1}M dx+Ndy -\oint_{C_2}M dx+Ndy + \oint_{C_2}M dx+Ndy$$ $$=\left(\oint_{C_1}M dx+Ndy -\oint_{C_2}M dx+Ndy \right) + \oint_{C_2}M dx+Ndy$$ $$= \iint_D(N_x-M_y)dxdy + \oint_{C_2}M dx+Ndy$$ $$= 0 + \oint_{C_2}M dx+Ndy$$ $$= \oint_{C_2}M dx+Ndy$$