Demostrar que $\mathcal{M}=\{(x, y) \in X \times Y : f(x) = g(y)\}$ es un submanifold liso.

Question

Dejemos que $\mathcal{X}^m, \mathcal{Y}^n,\mathcal{Z}^p$ sean variedades. Sea $f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$ y $g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$ sean mapas tales que $f \pitchfork g$ . Demostrar que $$\mathcal{M}=\{(x, y) \in X \times Y : f(x) = g(y)\}$$ es un submanifold liso de $\mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ .

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Parece que lo que he intentado está completamente equivocado...

Answer 1

He aquí un comienzo. $M = (f\times g)^{-1}(\Delta)$ , donde $\Delta$ es la diagonal en $Z\times Z$ . Necesitarás un lema de álgebra lineal: Si $U$ y $W$ son subespacios de un espacio vectorial $V$ entonces $U+W=V\implies U\times W + \Delta = V\times V$ , donde aquí $\Delta$ es la diagonal de $V\times V$ .