Suma de los productos punto al cuadrado de un vector unitario con las columnas de una matriz ortogonal

Question

Digamos que tenemos una matriz ortogonal $\ U=[u_1 \ u_2 \ \cdots \ u_n]$ , donde $u_i, \ i={1,\ldots,n}$ es la enésima columnan de $U$ . Si tomara el producto punto de un vector unitario $x\in \mathbb{R}^n$ con cada una de las columnas de $ \ U$ al cuadrado de cada uno de ellos, y sumado todo, el resultado sería $\sum_{i=1}^n(x^Tu_i)^2?$ ¿ser 1? En otras palabras, ¿el vector con componentes $x^Tu_i, \ i={1,\ldots,n}$ ¿un vector unitario?

Answer 1

Una matriz ortogonal representa un cambio de base entre bases ortonormales. Entonces, si $A\in\Bbb R^{n\times n}$ es ortogonal y $x\in\Bbb R^n$ entonces lo que está describiendo es simplemente $(Ax|Ax)$ .

Y como las matrices ortogonales preservan los productos internos entonces

$$(Ax|Ax)=(x|x)=\|x\|^2$$

Si $\|x\|^2=1$ implica que $x$ es un vector unitario, y viceversa.

Answer 2

Para un matriz ortogonal , $U$ tenemos $$ \color{#C00}{UU^T}=I $$ La suma de los cuadrados del producto punto de un vector unitario, $v$ con las filas de $U$ es $$ \begin{align} \|vU\|^2 &=vU(vU)^T\\ &=v\color{#C00}{UU^T}v^T\\ &=vv^T\\ &=\|v\|^2 \end{align} $$