Cómo probar $P(x)=1-\frac{x^2}{2}$ es una buena aproximación de orden $3$ para $f(x)=\cos x$ cerca de $x=0$ ?

Question

Dejemos que $f$ sea una función y queramos aproximar $f$ utilizando una función diferente $P$ cerca de $x=0$ . El error de aproximación es $E(x)=f(x)-P(x)$ . Si la aproximación va a ser buena, queremos $\lim\limits_{x\rightarrow 0}E(x)=0$ . De hecho, queremos $E(x)$ se acerca a $0$ tan rápido como $x\rightarrow 0$

Definición para $good \ approximation$ decimos que $P$ es una buena aproximación de orden $n$ para $f$ cerca de $x=0$ cuando $E(x)$ se acerca a $0$ más rápido que $h_n(x)=x^n$ .

Definición para $approache\ 0\ faster$ : Supongamos que $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x)=0$ . Nosotros decimos $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ se acerca a $0$ más rápido que $g(x)$ , ya que $x\rightarrow 0$ cuando $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ .

Cómo probar $P(x)=1-\frac{x^2}{2}$ es una buena aproximación de orden $3$ para $f(x)=\cos x$ cerca de $x=0$ ?

Aquí está mi intento:

Tenemos $E(x)=f(x)-P(x)=\cos x -1+\frac{x^2}{2}$ . Desde $E(x)$ y $x^3$ son continuos y $E(0)=0^3=0$ entonces $\frac{E(x)}{x^3}=\frac{\cos x -1+\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac{\frac{\cos x}{x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}}{x}$ . Claramente $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{E(x)}{x^3}=0$ . Creo que podemos concluir que $P$ es una buena aproximación ya que $E(x)$ se acerca a $0$ más rápido que $x^3$ .

Sin embargo, estoy seguro de que los pasos no deberían ser tan sencillos. ¿Podría alguien ayudar?

Answer 1

Lo que has hecho me parece bien.

La función $P(x) = 1 - \tfrac12 x^2$ son los dos primeros términos de la expansión de Taylor de $\cos x$ alrededor de $x=0$ . Los restantes términos de la expansión de Taylor son de grado 4 o superior. De hecho $$ E(x) = \cos x - P(x) = \left(1 - \tfrac12x^2 + \tfrac1{24}x^4 + \cdots\right) - \left(1 - \tfrac12x^2\right) = \tfrac1{24}x^4 + \text{higher order terms} $$ Entonces, todo lo que se le pide que pruebe se deduce fácilmente de esto.

Answer 2

Su mayor parte ya está hecha. El único salto en la lógica es la afirmación de que

"Claramente $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{E(x)}{x^3}=0$ ."

Esto no está claro basándose en la línea anterior, ya que la línea anterior, si se introduce el 0, obtendría 0 sobre 0. Se puede solucionar esto utilizando la regla de L'Hospital.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{E(x)}{x^3} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\frac{\cos x}{x^2} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2}}{x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0} -\frac{x^2\sin x + 2x\cos x}{x^4} +\frac{2}{x^3} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2}{x^3} - \frac{x\sin x + 2\cos x}{x^3} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2-x\sin x -2\cos x}{x^3}$

Aplicando la regla de L'Hospital unas cuantas veces más y,

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} -\frac{x\cos x + \sin x - 2\sin x}{3x^2} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} -\frac{x\cos x - \sin x}{3x^2} = \lim\limits_{x\rightarrow 0} -\frac{\cos x - x\sin x - \cos x}{6x} =\lim\limits_{x\rightarrow 0} -\frac{\sin x}{6} = 0$

que completa el problema. En la práctica, lo normal es aplicar el teorema de Taylor suponiendo que se sabe que la función tiene suficientes derivadas (y $\cos x$ tiene tantos derivados como se quiera).

Answer 3

Como la serie de potencias del coseno es alterna para cualquier $x$ se aplican las estimaciones de las series alternas. Así, $$ 1-\frac{x^2}2\le\cos x\le 1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24} $$ dando un límite de error de cuarto grado.

Answer 4

Su análisis es sólido. Está la cuestión de demostrar que

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-\left(1-\frac12 x^2\right)}{x^3}= 0 \tag 1$$

Por supuesto, se puede utilizar simplemente la ley ampliada de la media para la función coseno y escribir

$$\cos(x)=1-\frac12 x^2 +O\left(x^4\right)$$

Sin embargo, he pensado que podría ser instructivo presentar un enfoque que no se base en el conocimiento del cálculo diferencial. En lugar de ello, sólo tenemos que basarnos en las desigualdades de la geometría elemental

$$|\theta \cos(\theta )|\le |\sin(\theta )|\le |\theta | \tag 2$$

para $|\theta |\le \pi/2$ junto con las fórmulas trigonométricas de medio ángulo y el teorema de la compresión. Para ello, procedemos.

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Primero cuadramos $(2)$ y que $\theta =x/2$ para obtener

$$\frac{x^2}{4}\cos^2(x/2)\le \sin^2(x/2)\le \frac{x^2}{4} \tag 3$$

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A continuación, utilizamos las fórmulas de medio ángulo

$$\begin{align} \sin^2(x/2)&=\frac{1-\cos(x)}{2} \tag 4\\\\ \cos^2(x/2)&=\frac{1+\cos(x)}{2} \tag 5\\\\ \end{align}$$

Sustituyendo $(4)$ y $(5)$ en $(3)$ y la reorganización revela

$$1-\frac12 x^2 \le \cos(x)\le \frac{1-\frac14 x^2}{1+\frac14 x^2} \tag 6$$

a lo que hay que restar $1-\frac12 x^2$ de $(6)$ rinde

$$0\le \cos(x)-\left(1-\frac12 x^2\right)\le \frac{\frac18 x^4}{1+\frac14 x^4} \tag 7$$

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Por último, aplicando el teorema de la compresión a $(7)$ resulta en el codiciado límite dado en $(1)$

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-\left(1-\frac12 x^2\right)}{x^3}= 0 }$$

¡Y ya está!