$h \in C^k$ implica $\frac{h(x)-h(0)}{x} \in C^{k-1}$

Question

Esta es una pregunta auto-resuelta. La publico aquí ya que no era obvia para mí. (aunque he visto preguntas similares, ¿es un duplicado exacto?).

Dejemos que $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea $C^k$ y supongamos que $h(0)=0$ . Definir $$ F(x) = \begin{cases} \frac{h(x)}{x} & \text{if $x\neq 0$} \\ h'(0) & \text{if $x=0$}\end{cases} $$

Entonces $F$ es $C^{k-1}$ y $F^{(m)}(0)=\frac{h^{(m+1)}(0)}{m+1}$ por cada $m \le k-1$ .

¿Hay alguna manera de deducir la igualdad $F^{(m)}(0)=\frac{h^{(m+1)}(0)}{m+1}$ sin un largo cálculo a través de la regla de L'Hôpital? ¿Quizás utilizando la aproximación por polinomios de Taylor?

Lo he intentado, pero el intento ingenuo no lo ha conseguido. (Al inspeccionar los polinomios de Taylor, es inmediato que si $F \in C^{k-1}$ entonces $F^{(m)}(0)=\frac{h^{(m+1)}(0)}{m+1}$ se mantiene, pero esto no implica que la $C^{k-1}$ diferenciabilidad para empezar).

Añadido:

Este resultado es nítido. En efecto, $h(x)=x^{k+1}\text{sgn}(x)$ es $C^k$ pero $F(x)=x^{k}\text{sgn}(x)$ es sólo $C^{k-1}$ y no es diferenciable $k$ veces a cero.

Answer 1

La prueba está tomada esencialmente de esta respuesta .

Demostraremos la afirmación, por inducción finita, es decir, demostraremos que $F$ es $C^m$ para $m=0,1,\dots,k-1$ .

Utilizaremos la regla de L'Hôpital para encontrar $\lim_{x\to 0} F^{(m)}(x)$ .

Por la regla general de Leibniz, $$ \begin{align*} F^{(m)}(x) &= \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} h^{(m-k)}(x)\cdot(-1)^kk!x^{-k-1} \\ &= \frac{\sum_{k=0}^m (-1)^k k!\binom{m}{k}x^{m-k}h^{(m-k)}(x)}{x^{m+1}}. \end{align*} $$

Todos los sumandos del numerador, tienden a cero cuando $x \to 0$ ; $\lim_{x \to 0}x^{m-k}=0$ para $k <m$ y para $k=m$ tenemos $\lim_{x \to 0}h^{(m-k)}(x)=\lim_{x \to 0}h(x)=h(0)=0$ .

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Así, el límite es de la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ y por la regla de L'Hôpital obtenemos $$ \begin{align} \lim_{x\to 0} F^{(m)}(x) &= \lim_{x\to 0} \frac{\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^kk!\binom{m}{k}(m-k)x^{m-k-1}h^{(m-k)}(x) + \sum_{k=-1}^{m-1}(-1)^{k+1}(k+1)!\binom{m}{k+1}x^{m-k-1}h^{(m-k)}(x)}{(m+1)x^m} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{x^mh^{(m+1)}(x)}{(m+1)x^m} = \frac{h^{(m+1)}(0)}{m+1}. \end{align}, $$ donde en el paso a la tercera línea hemos utilizado el hecho de que todos los términos de ambas sumas se cancelan entre sí, excepto el $k=-1$ término en el segundo sumando.

Si suponemos (por inducción) que $F^{(m-1)}(x)$ es continua, entonces esta reclamación muestra que $F^{(m)}(0)$ existe y es igual a $\lim_{x\to 0} F^{(m)}(x)$ . Así, $F^{(m)}(x)$ es continua en $x=0$ .

Con esto termina la prueba.

Answer 2

Tenemos $$F(x) = \int_{0}^1 h'(tx) dt \,.$$ Cuando $h$ es $C^k$ todas las derivadas parciales con respecto a $x$ de $(t, x) \mapsto h'(tx)$ por encargo $k-1$ son continuas. Por tanto, por el teorema de convergencia dominante y el teorema del valor medio, podemos cambiar el orden de integración y diferenciación, y concluir que $F$ es $C^{k-1}$ .