¿Cuál es el grupo dual continuo de los números complejos multiplicativos?

Question

Me preguntaba cómo calcular el grupo dual de $\mathbb{C}_*=\mathbb{C}\backslash\{0\}$ donde el grupo dual consiste en caracteres continuos sobre $\mathbb{C}_*$ es decir, homomorfismos continuos de $\mathbb{C}_*$ en $\mathbb{T}$ . Estoy teniendo algunas dificultades para averiguar cómo podrían ser estos. Gracias.

Answer 1

$\Bbb C^*\cong\Bbb R^*_{>0}\times\Bbb T\cong\Bbb R_+\times\Bbb T$ . Los caracteres continuos de $\Bbb R_{>0}^*$ son $x\mapsto\exp(it\ln x)$ para $t\in\Bbb R$ y los de $\Bbb T$ son $z\mapsto z^n$ para $x\in \Bbb N$ . Así que el carácter general de $\Bbb C^*$ es $$z\mapsto\exp(it\ln|z|)\left(\frac{z}{|z|}\right)^n.$$