Pregunta sobre la relación de equivalencia que define a los enteros en un topos elemental

Question

Hola a todos,

Dejemos que $\mathcal{E}$ sea un topos elemental con objeto de número natural $N$ y que $+: N \times N \to N$ ser la flecha de adición; espero que la naturaleza de $N$ y $+$ resultará ser irrelevante para mi pregunta, pero si es así deberían al menos dejar clara su motivación. Dejemos que $E$ sea el pullback de $+$ a lo largo de sí mismo, con proyecciones $p, q: E \to N \times N$ por ejemplo, si $\mathcal{E}$ es el topos de los conjuntos entonces $E$ puede tomarse simplemente como el conjunto de cuádruples $(n, m, n', m') \in N^4$ tal que $n + m' = n' + m$ con $a(n, m, n', m') = (n, m')$ , $b(n, m, n', m') = (n', m)$ . Sea $f_1, f_2: E \to N \times N$ sea dada por

$f_1 \equiv \left< p_1 a, p_2 b \right>$

$f_2 \equiv \left< p_1 b, p_2 a \right>$

(aquí $p_1, p_2: N \times N \to N$ son las proyecciones y $\left< f, g \right>$ denota la flecha del producto $X \to N \times N$ de flechas $f, g: X \to N$ ). Por ejemplo en el topos de conjuntos de nuevo, $f_1 (n, m, n', m') = (n, m)$ etc. Deje que $c: N \times N \to Z$ sea el coequipamiento de $f_1$ y $f_2$ Así que $Z$ es el objeto entero en $\mathcal{E}$ .

Mi pregunta es: si $g, h, g', h': X \to N$ son tales que $c \left< g, h \right> = c \left< g', h' \right>$ ¿es siempre el caso que $+ \left< g, h' \right> = + \left< g', h \right>$ ? De manera equivalente, es $E$ con las flechas $f_1$ , $f_2$ el retroceso de $c$ a lo largo de sí mismo?

Me he pasado un rato intentando probarlo pero no hago más que dar vueltas, así que cualquier pista será muy apreciada.

Answer 1

Creo que lo que quieres primero es un lema que $\mathbb{N}$ es un monoide cancelativo (lo que ocurre en cualquier topos). Piensa en cómo demostrarías tu afirmación en la categoría de conjuntos utilizando elementos ordinarios, y creo que quedará claro.

La construcción habitual del adjunto izquierdo del funtor de olvido de grupos abelianos a monoides abelianos implica la observación de que, para $m, n, m', n'$ en un monoide abeliano $M$ la relación

$$\exists_{j \in M} m' + n + j = m + n' + j$$

define una relación de equivalencia $\langle m, n \rangle \sim \langle m', n' \rangle$ en $M \times M$ . (Sólo es necesario comprobar la transitividad.) La cancelación significa que de esto podemos inferir

$$m' + n = m + n'$$

que es lo que quieres.

Por lo tanto, tenemos que demostrar

$$\forall_{j \in \mathbb{N}} ((x + j = y + j) \Rightarrow (x = y))$$

en el objeto números naturales. Esto se hace por inducción en $j$ (el subobjeto de dicho $j$ contiene 0 y ... y por lo tanto es todo $\mathbb{N}$ ).