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Cuando calculamos el potencial debido a la esfera, ¿por qué integramos desde $r$ a $\infty$ en lugar de desde $\infty$ a $r$ ? ¿O integramos desde $r$ a $\infty$ ? Independientemente de quién haga el trabajo, el cargo en sí mismo está pasando de $\infty$ a $r$ ¿correcto? Entonces, ¿la integral no debería ser de $\infty$ a $r$ ? Estoy un poco confundido en cuanto a la definición del potencial. ¿Es el negativo del trabajo realizado por el campo eléctrico?
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También en una esfera, dado que el potencial permanece constante desde cualquier punto de la esfera a cualquier punto del interior de la misma, ¿es cierto que una vez que una carga está en la esfera, y queremos moverla dentro de ella, no se realiza ningún trabajo extra?
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No he podido entender por qué si tenemos un sistema de cargas, entonces la energía potencial es la misma para la configuración que es un valor, mientras que el potencial eléctrico es diferente cuando se está más cerca de una carga frente a la otra?
Respuesta
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1)
El orden de integración realmente no importa, ya que se puede invertir fácilmente el orden y recoger un signo negativo. Dicho esto, hay convenciones habituales, y depende de la fuerza que quieras considerar que hace el trabajo.
Lo más fácil para mí es pensar en mover una carga desde el infinito (donde normalmente el potencial se puede establecer en $0$ ) y pensando en el trabajo realizado (por carga) por la fuerza eléctrica. Sabemos que el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual al cambio negativo de la energía potencial. Por lo tanto, tenemos (usando alguna notación perdida en los límites integrales) $$\Delta V=V(\mathbf r)-V(\infty)=V(\mathbf r)=-\int_{\infty}^{\mathbf r}\mathbf E\cdot\text d\mathbf x=\int^{\infty}_{\mathbf r}\mathbf E\cdot\text d\mathbf x$$
Sin embargo, a veces se ve el potencial definido como el trabajo que se hace para que las cargas se muevan muy lentamente hasta su posición final. En este caso su fuerza es igual y opuesta a la fuerza eléctrica $\mathbf F=-q\mathbf E$ (para no introducir una energía cinética significativa). Por lo tanto, tenemos para el trabajo por carga $$\frac{W_\text{you}}{q}=\int_{\infty}^{\mathbf r}\frac{\mathbf F}{q}\cdot\text d\mathbf x=-\int_{\infty}^{\mathbf r}\mathbf E\cdot\text d\mathbf x=\Delta V$$
y todo es coherente. O bien el trabajo realizado por carga por la fuerza eléctrica es $-\Delta V$ o el trabajo por carga que realiza es igual a $\Delta V$ . Cualquier forma de ver el potencial está bien, y cualquier orden de los límites de integración es aceptable siempre que se tenga cuidado con los signos. Personalmente prefiero pensar en términos de la primera integral que he puesto, pero normalmente ciertos problemas se prestan a ciertas interpretaciones.
2) Sí, si se trata de una envoltura esférica de carga. Pero esto no es cierto para todas las esferas, por supuesto. Por ejemplo, una esfera aislante con una distribución de carga uniforme no tendrá un potencial constante dentro de la esfera.
3) Se equivoca. El potencial de una configuración es esencialmente lo mismo que la energía potencial del sistema, sólo que ciertos términos son escalados por varias cargas cuando se suma la energía o el potencial. Una configuración de cargas tiene una energía potencial asociada o potencial debido a las interacciones de las cargas. Sin embargo, si quieres pensar en $U(\mathbf r)$ ou $V(\mathbf r)$ entonces realmente lo que estamos haciendo es considerar lo que otro carga de prueba experimentaría si estuviera en la posición $\mathbf r$ .
Ten en cuenta que haces lo mismo para las fuerzas y los campos entre dos cargas, probablemente no lo pienses de la misma manera. Puedes considerar la interacción entre dos cargas, o puedes considerar la fuerza/campo que otra carga de prueba experimentaría en presencia de las dos cargas originales. (Por supuesto, esta analogía se rompe para más de dos cargas porque no tendría sentido tener una "fuerza total" o un "campo total" de la configuración, pero la idea sigue siendo válida, creo).
