Bebé Rudin Capítulo 3 Problema 11(d)

Question

Supongamos que $a_n > 0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ y que $\sum_{n=1}^\infty a_n = +\infty$ . Sea $b_n \colon= {a_n \over {1+na_n}}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

Entonces podemos demostrar el siguiente hecho:

Si la secuencia $\{na_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ está acotada por arriba o si esta secuencia tiene un límite inferior positivo (por supuesto esta secuencia está acotada por abajo por $0$ ), entonces $\sum_{n=1}^\infty b_n = +\infty$ .

Sin embargo, ¿podemos plantear un caso en el que ninguna de las dos hipótesis anteriores sobre $\{na_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ se mantiene (aunque $\sum_{n=1}^\infty a_n = +\infty$ todavía se mantiene), pero sin embargo $\sum_{n=1}^\infty b_n = +\infty$ ?

Answer 1

La idea es definir $a_n$ de tal manera que en los enteros Impares, $na_n$ está limitada por encima pero no por debajo por un número positivo, y en números enteros pares no está limitada por encima, pero sí por debajo por algún número positivo. Por ejemplo, tomemos $$a_n = \begin{cases}n &\text{if }n \text{ is odd,} \\ 1/n^2 &\text{if } n \text{ is even.}\end{cases}$$ Es evidente que $\sum_{n\ge 1} a_n = \infty$ . Además, tenemos que $\liminf na_n = 0$ y $\limsup na_n = \infty$ .

Ahora bien, si calculamos $$ \sum_{\substack{n\ge1 \\ n \text{ odd}}} b_n = \sum_{k\ge 0}\frac{2k+1}{4k^2 + 4k + 2} = \infty $$ Esta última afirmación se constata al utilizar el criterio de condensación de Cauchy y la prueba de razón. Obsérvese que la adición de los términos pares positivos no cambia nada, por lo que $\sum_{n\ge 1} b_n = \infty$ .

Answer 2

Considere la secuencia

$a_{2n} = 1/n^2$

$a_{2n+1} = 1$