Módulos Tate de esquemas de grupos conmutativos sobre campo finito

Question

Dejemos que $G$ sea un esquema de grupo conmutativo de tipo finito sobre un campo finito $k=\Bbb F_q$ con $\Gamma=Gal(\bar k/k)$ y $l$ sea un primo tal que $(l,q)=1$ también podemos definir el módulo de Tate $T_lG =\varprojlim_nG[l^n](\bar k)$ . Entonces también podemos considerar el mapa natural

$Hom_k(G_1,G_2) \otimes \Bbb Z_l \rightarrow Hom_\Gamma(T_lG_1,T_lG_2)$

para cualquier esquema de dos grupos conmutativos sobre $k$ o, más generalmente, el mapa

$\text{Ext}^i_k(G_1,G_2) \otimes \Bbb Z_l \rightarrow \text{Ext}^i_\Gamma(T_lG_1,T_lG_2)$ para cada número natural $i$ al menos cuando los grupos de extensión están bien definidos ( Esta pregunta puede estar relacionado).

Mi primera pregunta es: ¿cuándo este mapa es sobreyectivo, inyectivo o un isomorfismo? Si $G_i$ son variedades abelianas y $i=0$ es bien sabido que este mapa es un isomorfismo. Si $G_2=\Bbb G_m$ y $G_1$ es una variedad abeliana, esto también es cierto para $i=0$ ya que ambos lados son cero, y es cierto para $i=1$ y $\text{dim}G_1=1$ como $\text{Ext}^1(A,\Bbb G_m)$ es el dual de $A$ y se pueden calcular ambos lados explícitamente (véase este trabajo de fin de máster ). Sin embargo, este mapa puede no ser inyectivo por razones triviales (Por ejemplo, el lado derecho podría ser cero para algunos grupos abelianos finitos).

Así que mi segunda pregunta es: ¿cómo describir grupos de extensión entre esquemas de grupos conmutativos utilizando datos de álgebra lineal de forma sistemática? Por ejemplo, ¿cómo describir grupos de extensión de esquemas de grupos finitos como $\alpha_p$ , $\mu_p$ ?

La última pregunta se refiere al crecimiento de $\#G[l^n]$ para esquemas de grupos conmutativos (para estudiar el módulo de Tate). Sea $k$ sea cualquier campo, $G$ sea un esquema de grupo conmutativo sobre un campo $k$ (no necesariamente de tipo finito) y $p$ sea un primo. Supongamos que $G[p^n]$ es un esquema de grupo finito para cada $n$ ¿existe siempre $C >0,h \geq 0$ tal que $\#G[p^n]=Cp^{nh}$ para $n >> 0$ ? Aquí el orden de un esquema de grupo finito significa la dimensión de su anillo de sección global. Sé que el resultado es válido para los esquemas de grupo etale y las variedades abelianas. Por ejemplo, si $G$ es constante, es decir, un grupo abeliano abstracto y $\#G[p^n]$ es finito para cada $n$ Entonces sabemos que $G[p^\infty]\cong (\Bbb Q_p/\Bbb Z_p)^h\oplus T$ para algunos $h \geq 0$ y finito $p$ -grupo $T$ (este resultado se utiliza al estudiar el grupo Tate-Shafarevich de las curvas elípticas).

Edición: hay una buena teoría para los grupos algebraicos lineales conmutativos sobre el número complejo, por ejemplo cada uno conectado es un producto de $\Bbb G_a$ y $\Bbb G_m$ , ver aquí . Aquí es una discusión para grupos de mayor extensión. Me interesan más los grupos de mayor extensión o el caso no reducido.

Answer 1

Trataré de responder a su última pregunta en el orden de $\#G[\ell^n]$ para $(\ell,p) = 1$ .

Supuesto: $G$ un esquema de grupo conectado conmutativo localmente de tipo finito sobre $k$ .

Ya que está interesado en el orden del esquema de grupos $G[\ell^n]$ es inofensivo pasar a $k = \overline{k}$ (un esquema de grupo conectado localmente de tipo finito sobre $k$ está geométricamente conectada). Entonces $G_{\text{red}}$ es un esquema cerrado de subgrupo reducido de $G$ con $G_{\text{red}}[\ell^n] = G[\ell^n]$ ya que este último es un cuento sobre $k$ . Por lo tanto, podemos suponer que $G$ se reduce, a fortiori suave. En Teorema de Chevalley tenemos una secuencia exacta $$0 \to H \to G \to A \to 0$$ donde $H$ es un subgrupo algebraico lineal cerrado y $A$ una variedad abeliana.

Lema: Por cada $n > 0$ la secuencia $$0 \to H[\ell^n] \to G[\ell^n] \to A[\ell^n] \to 0$$ sigue siendo exacta.

Prueba: Tenemos que demostrar que $H/\ell^n H = 0$ . Desde $(\ell,p) = 1$ la multiplicación por $\ell^n$ El mapa es un cuento y por lo tanto abierto. Sin embargo, un homomorfismo de esquemas de grupo siempre tiene imagen cerrada, y por lo tanto por la conectividad de $H$ concluimos el resultado.

Ya que conoce la respuesta a su última pregunta en el caso de una variedad abeliana $A$ , sólo trataré el caso de $H$ . Ahora $k$ es algebraicamente cerrado, en particular perfecto por lo que sabemos que $$ H \cong D \times U$$ donde $D$ es un grupo diagonalizable y $U$ es unipotente. Cualquier unipotente $U$ sobre un campo perfecto tiene una filtración con cocientes sucesivos isomorfos a $\mathbf{G}_a$ . Por lo tanto, si $(\ell,p) = 1$ (como es el caso), $U[\ell^n] = 0$ y así $$H[\ell^n] \cong D[\ell^n].$$ En particular, podemos suponer que $H$ es diagonalizable y, por tanto, isomorfo a $\mathbf{G}_m^q$ para algunos $q \in \mathbf{N}$ (no hay formas de $\mathbf{G}_m^q$ sobre un campo algebraicamente cerrado). Por lo tanto, $$\mathbf{G}_m^q[\ell^n] \cong (\mu_{\ell^n})^q$$ que tiene orden $\ell^{nq}$ .