Interpolación de la función máxima con polinomios simétricos

Question

Dejemos que $n$ y $p$ sean dos enteros positivos. Consideremos la función $$\max_{n,p}:\{0,\dots,n\}^p\to\{0,\dots,n\}$$ que calcula el máximo de un $p$ -pareja de enteros en el rango $\{0,\dots,n\}$ . ¿Existen expresiones explícitas para los polinomios simétricos $P_{n,p}\in\mathbb{Q}[\sigma_1,\dots,\sigma_p]$ tal que $P_{n,p}(\sigma_1,\dots,\sigma_p)$ interpola $\displaystyle\max_{n,p}$ ? Aquí el $\sigma_i$ son los polinomios simétricos elementales.

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El caso $p=2$ se puede hacer a mano : $P_{n,2}(\sigma_1,\sigma_2)$ puede describirse mediante la fórmula $$\sum_{s=0}^{2n} \prod_{\substack{a=0\\a\neq s}} \frac{\sigma_1-a}{s-a} \cdot\left( \sum_{i=\max\{s-n,0\}}^{\lfloor s/2\rfloor} (s-i) \prod_{\substack{j=\max\{s-i,0\}\\j\neq i}}^{\lfloor s/2\rfloor} \frac{\sigma_2-j(s-j)}{i(s-i)-j(s-j)} \right)$$ Que se obtiene interpolando las funciones máximas a lo largo de los ``antidiagonales'' $x+y=s$ , $0\leq x,y\leq n$ .

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Por lo que puedo decir, el resultado de Interpolación de funciones simétricas es inaplicable en este caso.

Me interesa esta cuestión para estudiar las redes. El caso especial en el que $n=p=2^N$ es de especial interés para mí. Además, quiero permitir más polinomios invariantes, específicamente aquellos que son invariantes bajo un grupo 2-Sylow de $\mathfrak{S}_n$ .

Answer 1

Lo siguiente sería una prueba de la existencia de dicho polinomio más que una construcción real (y es una generalización de su enfoque).

Definir $S_i$ como un conjunto de todos los valores posibles $\sigma_i(a)$ para $a\in\{0,1,\ldots, n\}^p$ y definir $A=\{0,1\ldots, n\}^p$ Considere cualquier $p$ -tupla $a=(a_1, a_2, \ldots, a_p)\in A$ y definir un polinomio $L_a\in\mathbb{Q}[\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_p]$ como sigue $$ L_a=\prod_{i=1}^{p}\prod_{t_i\in S_i\backslash\{s_i\}}\frac{\sigma_i-t_i}{s_i-t_i}, $$ donde $s_i=\sigma_i(a_1, a_2, \ldots, a_p)$ ( $L_a$ está bien definida gracias al teorema de Vieta). La principal propiedad de $L_a$ es que $L_a(a)=1$ y $L_a(b)=0$ para cualquier $p$ -tupla $b\in A\backslash \{a\}$ .

Ahora, podemos definir $$ P_{n,p}=\sum_{a\in A}\max\{a_1, a_2, \ldots, a_p\}\cdot L_a. $$ Claramente, $P_{n,p}\in \mathbb{Q}[\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_p]$ y $P_{n,p}(a)=\max\{a_1, a_2, \ldots, a_p\}$ para cualquier $a\in A$ .