ODEs rígidas: problemas para detectar la rigidez a partir del gráfico de una ODE.

Question

Estoy leyendo el muy buen libro de Leveque sobre métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. En el capítulo 8 muestra una ecuación simple que es "rígida" en el sentido de la palabra ODE.

$$ u' = \lambda(u - \cos{t}) - \sin{t} $$

La solución es:

$$ u(t) = e^{\lambda(t - t_0)}(\eta - cos(t_0)) + \cos{t} $$

Por lo tanto, la relación entre $\lambda$ y el $\sin{t}$ definirá la rigidez de la ecuación. Todo esto tiene sentido. Sin embargo, cuando miré el gráfico de esta ecuación no pude entender qué la hacía rígida. Siempre atribuyo la rigidez a la existencia de diferentes escalas de tiempo o a una mezcla de frecuencias rápidas y lentas. Pero el gráfico parece bastante suave, así que ¿por qué la regla trapezoidal tendría tanta dificultad para encontrar la solución?

Esa es mi verdadera pregunta, basándome en el gráfico de abajo, qué es lo que hace que la solución sea rígida y hace que el método trapezoidal rebote demasiado, dado que la curva es bastante suave.

Answer 1

El $\sin(t)$ actúa como una fuerza motriz con frecuencia $1$ . Así que, efectivamente, hay dos escalas de tiempo: una con velocidad $1$ (la fuerza motriz) y una con velocidad $\lambda$ (la parte $u' = \lambda u$ ). Si lo desea, puede aumentar el sistema con la ecuación auxiliar $t' = 1$ para convertirlo en un sistema autónomo.

Otra forma de ver la rigidez es observar las líneas de corriente. La forma en que giran casi en ángulo recto también indica la rigidez. La figura siguiente muestra las líneas de flujo del campo $(1, \lambda(u - \cos t) - \sin t)$

No se puede decir que el problema es rígido con sólo mirar la solución (ya que siempre es impulsado por procesos lentos lejos de la región de transición), en su lugar hay que inspeccionar qué tan áspero es el campo de la trayectoria en el barrio de la solución.

PS. He intentado reproducir el patrón de oscilación del método trapezoidal y estoy bastante seguro de que el gráfico de la solución y la trayectoria numérica se obtienen con diferentes valores de $\lambda$ ( $\lambda \approx -5000$ para el método y $\lambda \sim -100$ para la solución). A continuación se muestra el gráfico para $\Delta t = 0.2, \lambda = -30$ sólo para ver cómo rebota el método trapezoidal en el campo ODE.

Answer 2

Lo que muestra este tipo de comparación de gráficos es que para la función de estabilidad $R(z)$ uno tiene

• $R(\infty)=0$ para el método de Euler implícito con $R(z)=\dfrac1{1-z}$ y
• $R(\infty)=-1$ para el método trapezoidal implícito con $R(z)=\dfrac{2+z}{2-z}$ .

La consecuencia es que en el método impl. trap. cuando $z=\lambda h$ es muy grande, la componente rápida de la solución oscilará en torno a la curva de equilibrio de movimiento lento, mientras que la impl. Euler converge rápidamente hacia el equilibrio. La influencia del orden en el error suele observarse sólo para tamaños de paso pequeños, para $|z|<3$ más o menos (véase $R(-2)=0$ para el método trapezoidal).