Distancia esperada entre los nodos de las hojas de un árbol binario

Question

Sea T un árbol binario completo con $8$ hojas. (Un árbol binario completo tiene todos los niveles llenos). Supongamos que dos hojas a y b de T se eligen al azar de forma uniforme e independiente. El valor esperado de la distancia entre a y b en T (es decir, el número de aristas en el camino único entre a y b) es ?

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Mi intento:

Esta pregunta es realmente sencilla. Lo único que quiero confirmar es si la respuesta a esta pregunta será $4.86$ o $4.25$ ? En mi opinión, la respuesta debería ser $4.86$ . Lo resolví de esta manera: suma de las distancias de una hoja particular a las restantes $7$ hojas es $34$ . La suma sería la misma para cada nodo hoja. Por lo tanto, la suma total de la distancia de todos los nodos hoja $= 34\times8$ . Por lo tanto, la expectativa $= (34 \times 8)/(8 \times 7) = 4.86$ .

¿Estoy en lo cierto con la respuesta?

Answer 1

Su respuesta supone que una vez $a$ se elige, hay $7$ posibilidades para la $b$ a una distancia media de $34/7$ (y este valor no depende de $a$ ). Pero esto ignora la posibilidad de que $a$ y $b$ son iguales (distancia $0$ ); como se eligen de forma independiente, esto puede ocurrir, por lo que de hecho hay $8$ posibilidades de $b$ a una distancia media de $34/8$ .

Answer 2

Una pista: Se pueden seleccionar dos nodos hoja en $8\times8 = 64$ formas.