¿Cómo puedo encontrar funciones que satisfagan esta simetría?

Question

Quiero encontrar funciones con todas las siguientes simetrías:

(1) $f(x,y,z)$ es cíclico, es decir $f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)$ .

(2) $\overline{f}(x,y,z) = f(z,y,x)$ El orden inverso es el complejo conjugado.

(3) $g(x,y,a,b) \equiv \int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y,z)f(z,a,b) dz = \int\limits_{-\infty}^\infty f(b,x,z)f(z,y,a) dz$ . es decir $g(x,y,a,b)$ es cíclico.

(4) $\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x,y,z)|^2 dx dy dz=1$

Hasta ahora sólo he encontrado $f(x,y,z) = b e^{-c(x^2+y^2+z^2)}$ para ciertas constantes $b$ y $c$ .

¿Existe un método general para encontrar dichas funciones? En particular, ¿hay alguna que no puede se factorice, es decir, que $f(x,y,z)\neq h(x)h(y)h(z)$ ?

Answer 1

He encontrado una solución:

$$f(x,y,z) = \frac{1}{\pi^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)} (1 + 4(xy+yz+xz) )$$

Satisface todo, incluyendo:

$$g(x,y,a,b) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y,z)f(z,a,b) dz = \frac{(1+4(xy+xa+xb+ya+yb+ab)+16xyab)e^{-x^2-y^2-a^2-b^2}}{\sqrt{2}\pi^{5/2}}$$ es obviamente cíclico.

No es la respuesta más interesante ya que es demasiado simétrica porque no sólo es cíclica sino invariante bajo cualquier permutación de variables.