¿Existe una categoría cuya lógica interna sea paraconsistente?

Question

El lenguaje interno de los topoi es de tipo superior intuicionista lógica. Ahora bien, según wikipedia el dual de la lógica intuicionista, en cierto sentido es paraconsistente. Dicen que

La lógica intuicionista permite $A ¬A$ no sea equivalente a verdadero, mientras que la lógica paraconsistente permite $A ¬A$ no sea equivalente a falso. Así, parece natural considerar la lógica paraconsistente como el "dual" de la lógica intuicionista.

continúan diciendo:

Una lógica paraconsistente específica es la lógica dual-intuicionista o lógica paracompleta, esta dualidad puede verse mejor en el marco del cálculo secuencial, donde

Ambos $\vdash A \vee \neg A$ y $ \neg \neg A \vdash A$ no son derivables en la lógica intuicionista, mientras que

Ambos $ A \neg A \vdash$ y $ A \vdash \neg \neg A$ no son derivables en la lógica paraconsistente.

Dado que la dualidad tiene una fuerte presencia en la teoría de las categorías, dado que el lenguaje interno de las topos es intuicionista, ¿existen categorías cuya interpetación natural como lógica es dual-intuicionista, o paraconsistente de alguna otra manera?

Answer 1

En el contexto de la teoría de los topos la respuesta sería no. La razón es (que creo que es lo que estás diciendo) que en un topos el entramado de subobjetos del clasificador de subobjetos es un álgebra de Heyting, no (generalmente) un álgebra de Co-Heyting. La dualidad de la que hablas arriba dice realmente que la lógica paraconsistente es algebraicamente como un álgebra de Heyting, mientras que la lógica intuicionista es algebraicamente como un álgebra de Heyting.

Por supuesto, no debería sorprender que la teoría de topos no sea ideal para modelar la lógica paraconsistente, ya que fue diseñada para ser ideal para la lógica intuicionista (y la lógica paraconsistente es bastante disjunta de ella).

Ahora, para responder en parte a tu pregunta, es poco probable que una noción dual a un topos modele la lógica paraconsistente. La razón es que el dual de un topos (por supuesto) generalmente no es un topos y los subobjetos en el dual (que son los mismos que los objetos cotizantes en el topos original) no tienen ninguna estructura Heyting o co-Heyting. Lo que ocurre es que la red de objetos cotizados en el dual de un topos es el álgebra de Hetying de los subobjetos del topos original. En cualquier caso, no hay álgebra de co-Heyting.

Si hay categorías que modelan la lógica paraconsistente, creo que actualmente no se sabe.

Answer 2

La lógica lineal es una lógica de relevancia debilitada, que son lógicas paraconsistentes. *Las categorías autónomas con alguna estructura extra tienen la lógica lineal como su lenguaje interno. De hecho también son interpretadas más naturalmente por policategorías.

Answer 3

Si $a:A\rightarrow X$ y $b:B\rightarrow X$ son dos monomorfismos en una categoría $\mathcal C$ tal que $a\leq b$ en $\text{Sub}(X)$ ¿No deberíamos tener eso? $b^\text{op} \leq a^\text{op}$ en $\mathcal C^\text{op}$ ? Entonces, si $\mathcal C$ es un topos, $\mathcal C^\text{op}$ debe tener objetos cotizados que formen álgebras de Co-Heyting.