Una pregunta sobre la teoría de los operadores

Question

Dejemos que $T$ sea un operador cuasinilpotente que actúa sobre un espacio de Hilbert separable $H$ . Fijar un vector $x$ en $H$ tal que $[T^n x]=H$ (el tramo cerrado de la órbita es $H$ ), y un hiperplano $Z\subset H$ . ¿Podemos encontrar siempre (para cualquier elección de $x$ y $Z$ ) un escalar $\lambda\neq 0$ tal que $x\in (\lambda I-T)Z$ ?

Answer 1

Creo que la respuesta es no. Toma $T$ para ser un desplazamiento a la derecha ponderado, con pesos $(\mu_i)$ convergiendo rápidamente hacia $0$ (un operador llamado Donoghue). A continuación, $T$ es cuasinilpotente (y compacta). Tomemos $x=e_1$ y $Z=[e_k]_{k\geq 2}$ . Entonces, para cualquier $\lambda\neq 0$ tenemos que $$ (\lambda I-T)^{-1}e_1=\frac{1}{\lambda}e_1+\frac{1}{\lambda^2}\mu_2e_2+\frac{1}{\lambda^3}\mu_3e_3+\dots $$ Por lo tanto, para cualquier $\lambda\neq 0$ tenemos que $(\lambda I-T)^{-1}e_1\notin Z$ .