Tome $R,n\in \mathbb Z$ y $p$ un primo. La congruencia
\[ x^n \equiv R \text { mod }(p)\N-]
tiene $\ll _n1$ soluciones $x\in \{ 0,1,...,p-1\} $ por el Teorema de Lagrange.
¿Es lo mismo si reemplazo $p$ por una potencia prima arbitraria? Por lo que sé, sí, debido al siguiente argumento.
RECLAMO:
Para todos $\alpha \geq 1$ la congruencia
\[ x^n \equiv R \text { mod }(p^ \alpha )\]
tiene $\ll _n1$ soluciones modulo $(p^\alpha )$ .
PRUEBA DE LA RECLAMACIÓN:
Supongamos que hay $\ll _n1$ soluciones a la congruencia modulo $p^{\alpha -1}$ para algunos $\alpha \geq 1$ y argumentar con la inducción.
Recordemos el lema de Hensel, que dice que si
\[ x^n \equiv R \text { mod }(p^{ \alpha -1})\]
tiene una solución $X^{'}_0$ entonces hay una solución única $X_0$ mod $(p^\alpha )$ a
\[ x^n \equiv R \text { mod }(p^{ \alpha }) \hspace {5mm} \text { satisfaciendo } \hspace {5mm}X_0 \equiv X{'}_0 \text { mod }(p^{ \alpha -1}).\]
Supongamos que las soluciones de la congruencia módulo $(p^{\alpha -1})$ vienen dadas por $\{ x_1,...x_N\} $ , donde $N\ll _n1$ por la hipótesis inductiva. Si tenemos una solución $X_0$ a la congruencia mod $(p^\alpha )$ entonces necesariamente $X_0$ es una solución a la congruencia mod $(p^{\alpha -1})$ y por lo tanto
\[ X_0 \equiv x_i \text { mod }(p^{ \alpha -1}). \hspace {10mm}(1)\N-]
Pero el lema de Hensel dice que $X_0$ siendo una solución a la congruencia mod $(p^\alpha )$ y que satisface (1), es único módulo $p^\alpha $ . Por lo tanto, sólo hay una opción para $X_0$ dada (1), y (1) es a su vez una de $N$ posibles congruencias. Así que sólo hay $N\ll _n1$ posibles opciones para $X_0$ y ya está.
Acabo de recordar que he olvidado la condición de diferenciabilidad del Lemma de Hensel, así que supongamos $p$ no divide $n$ . Entonces, ¿el argumento es correcto? Básicamente quiero comprobarlo.
Gracias.
