Satisfacer una condición en una ecuación cuadrática dada

Question

Dejemos que $P(x) = x^2 +2bx + c$ sea una forma cuadrática donde $b,c$ son números reales.Si $b^2 < c$ , demuestran que $P(x) > 0$ para todos $x$ ¿Es también cierto lo contrario?

El valor de $x$ después de resolver la ecuación será : $x = -b+(b^2 -c)^{1/2}$ . y cuando lo pongamos de nuevo en la forma cuadrática después de aplicar la condición dada, obtendremos la respuesta como $0$ . ¿Alguien puede dar una solución adecuada o alguna pista y señalar en qué me equivoco y si la inversa también se cumple en tal condición? Si no, ¿por qué? Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

$$P(x)=(x+b)^2+c-b^2$$

Ahora, $(x+b)^2\ge0$ para todos los reales $x,b\implies P(x)\ge c-b^2$

Así que, $P(x)$ será $>0$ para todos los reales $x$ si $c-b^2>0\iff c>b^2$

Por el contrario, si $c>b^2, P(x)=(x+b)^2+c-b^2>0$ para todos los reales $x$