Transformación lineal que satisface el polinomio

Question

Que a $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial $V$ tener un $\mathbb{Q}$ -endomorfismo lineal $T : V\rightarrow V$ tal que $T^4+14T+28=0$ . Demostrar que $4|\dim{V}$ y para $\dim{V}=4$ , $T$ es único hasta la similitud.

No estoy seguro de cómo enfocar esto. He intentado utilizar la divisibilidad mínima de los polinomios sin éxito. ¿Alguna idea sobre cómo abordar esto?

Answer 1

Observe que $\;x^4+14x+28\in\Bbb Q[x]\;$ es irreducible (¿por qué?) , por lo que éste es el polinomio mínimo de $\;T\;$ sobre el espacio lineal $\;V_{\Bbb Q}\;$ . Pero este polinomio mínimo divide el polinomio característico de $\;T\;$ que tiene un grado igual a $\;\dim V\;$ ...