Construir una proyección que satisfaga una determinada propiedad

Question

Dejemos que $\cal G$ sea un grupo de orden finito $n$ . Para todo divisor primo $p$ de $n$ construye una proyección $P\in \cal N(G)$ tal que $\operatorname{tr}_{\cal N(G)}(P)=1/p$ .

Aquí $\cal N(G)$ denota el álgebra de los límites, $G$ -operadores equivariantes en $l^2(\cal G)$ y la traza de dicho operador $T$ se define por $$\operatorname{tr}_{\cal{N}(G)}(T)=\langle Te,e\rangle_{l^2(G)}$$ $e\in \cal G$ siendo el elemento unitario.

Desde $\cal G$ es finito, podemos identificar $\cal N(G)=\Bbb C G$ y bajo esta identificación, el rastro de un elemento $\sum_g c_gg$ es sólo el coeficiente de $e\in \cal G$ . Estoy luchando por escribir un elemento adecuado $P\in \Bbb C\cal G=\cal N(G)$ que tiene como coeficiente del elemento unitario $1/p$ y que satisface $P=P^*=P^2$ .

Estoy muy agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

Si $g$ es un elemento de orden $p$ (siempre existe por el Teorema de Cauchy), dejemos que $$ Q=\frac1p\,\sum_{j=0}^{p-1} g^j. $$ Entonces $\text{tr}(Q)=1/p$ y $$ Q^*=\frac1p\,\left(\sum_{j=0}^{p-1} g^j\right)^*=\frac1p\,\sum_{j=0}^{p-1} g^{-j} =\frac1p\,\sum_{j=0}^{p-1} g^{p-j}=\frac1p\,\sum_{k=1}^{p} g^k=\frac1p\,\sum_{k=0}^{p-1} g^k=Q. $$ Tenga en cuenta que $$g(1+g+g^2+\cdots+g^{p-1})=g+g^2+\cdots+g^p=1+g+g^2+\cdots+g^{p-1}.$$ De ello se desprende que $$g^k(1+g+g^2+\cdots+g^{p-1})=1+g+g^2+\cdots+g^{p-1}$$ para todos $k$ . Entonces $$(1+g+g^2+\cdots+g^{p-1})^2=p\,(1+g+g^2+\cdots+g^{p-1}).$$ Así, $Q^2=Q$ .