Deje $\phi_n\colon [a,b]\to \mathbb R$ ser una secuencia de funciones continuas. Suponiendo que hay un $A\subset [a,b]$ tal que $\phi_n|_A$ converge uniformemente a $\phi\colon A\to \mathbb R$, ya he comprobado que para todos los $x\in \bar A$ el cierre de $A$ la secuencia de $(\phi_n(x))$ converge. La definición de $\bar\phi$ $\bar A$ por el pointwise límite de $\phi_n$ me parece, $\bar\phi$ debe ser continua en $\bar A$ pero no puedo traer una prueba juntos.
Mi idea: ya he probado, que para cualquier conjunto finito $B\subset \bar A$ la función de $\bar\phi$ es continua en a $B\cup A$, y ahora estaba tratando de extender a toda la $\bar A$ con el Lema de Zorn, sino de mostrar que, si $A\subset B_1\subset B_2 \subset \dots\subset \bar A$ $\bar\phi$ es continua en cada una de las $B_k$ es de $\bigcup B_k$, está haciendo algunos problemas. Tenga en cuenta que también podría asumir la continuidad uniforme en todas partes.
Nota los pensamientos de la Continuidad de la unión.
