Números en $\mathbb{G}$ son pares ordenados de enteros, es decir, (a, b) ∈ $\mathbb{G}$ si a ∈ $\mathbb{Z}$ y b ∈ $\mathbb{Z}$ y binario operaciones ⊕ y ⊗ se definen en $\mathbb{G}$ por $$(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c , b + d),$$ $$(a, b) ⊗ (c, d) := (ac − bd , ad + bc).$$
Definimos la función de norma N : $\mathbb{G}$ → $\mathbb{Z}$ por $$N : (a, b) → a^ 2 + b^ 2$$
y $$N((a, b) ⊗ (c, d)) = N((a, b)) × N((c, d))$$
Una unidad en un sistema numérico se define como un número con un multiplicador elemento inverso. Recordemos que si $i_×$ es el elemento de identidad para multiplicación, entonces un número $u$ tiene un elemento inverso multiplicativo $\bar u$ si $u × \bar u =\bar u × u = i_×$ . Por ejemplo, en ambos $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ el elemento de identidad para la multiplicación es 1; y 1 es la única unidad en $\mathbb{N}$ (con inverso = 1); 1 y -1 son unidades en $\mathbb{Z}$ (con sus respectivos inversos 1 y -1). Observando que (1, 0) es el elemento de identidad para la multiplicación operación ⊗ en $\mathbb{G}$ (que no tiene que verificar), encuentre las cuatro unidades en $\mathbb{G}$ y escriba el multiplicativo inversa para cada una de ellas. Demuestra que estas cuatro son las únicas unidades en $\mathbb{G}$ .
Así que he escrito algunas ecuaciones simultáneas: $$a \bar a -b\bar b=1$$ $$a\bar b+b\bar a=0$$ $$(a^2+b^2)(\bar a^2+\bar b^2)=1$$ donde $(a,b),(\bar a, \bar b) ∈ \mathbb{G}$ y $(\bar a, \bar b)$ es la inversa multiplicativa de $(a,b)$ pero no puedo resolver las "unidades". Creo que necesito una ecuación más, pero parece que no puedo encontrar más independientes.
